Achteck-Rechner: Fläche, Umfang, Apothem und mehr
Berechnen Sie Fläche, Umfang, Apothem, Umkreisradius und Diagonalen eines beliebigen regelmäßigen Achtecks sofort aus seiner Seitenlänge — mit vollständigen Formeln.
Geben Sie die Seitenlänge eines regelmäßigen Achtecks ein und klicken Sie auf Berechnen, um alle wichtigen Maße in einem Schritt zu erhalten.
Achteck-Rechner: Fläche, Umfang, Apothem und mehr
Berechnen Sie Fläche, Umfang, Apothem, Umkreisradius und Diagonalen eines beliebigen regelmäßigen Achtecks sofort aus seiner Seitenlänge — mit vollständigen Formeln.
Über den Achteck-Rechner
Ein regelmäßiges Achteck ist ein Polygon mit acht Seiten, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks misst genau 135°, und die Summe aller Innenwinkel beträgt (8−2)×180° = 1080°. Das Achteck ist eines von nur drei regelmäßigen Polygonen, die zusammen mit Quadraten die Ebene parkettieren können — ein Merkmal, das in der islamischen Geometriekunst und im historischen Fliesenbau genutzt wurde.
Aus einer einzigen Seitenlänge a lassen sich alle weiteren Maße eines regelmäßigen Achtecks analytisch mit exakten algebraischen Ausdrücken unter Einbezug von √2 herleiten. Die Fläche ist 2(1+√2)a², was für a = 1 ungefähr 4.8284 Flächeneinheiten ergibt. Der Umfang ist einfach 8a. Das Apothem (auch Inkreisradius genannt) ist der Abstand vom Zentrum zum Mittelpunkt einer beliebigen Seite und entspricht a(1+√2)/2. Der Umkreisradius ist der Abstand vom Zentrum zu jedem Eckpunkt und entspricht (a/2)√(4+2√2).
Das Achteck besitzt drei verschiedene Diagonalenklassen. Die kurze Diagonale verbindet zwei Ecken mit einer dazwischenliegenden Ecke (spannt zwei Seiten auf) und hat die Länge a√(2+√2) ≈ 1.848a. Die mittlere Diagonale verbindet Ecken mit zwei dazwischenliegenden Ecken (spannt drei Seiten auf) und hat die Länge a(1+√2) ≈ 2.414a. Die lange Diagonale (Durchmesser) verbindet gegenüberliegende Ecken und hat die Länge a√(4+2√2) ≈ 2.613a, also genau 2R (das Doppelte des Umkreisradius). Dieser Rechner zeigt alle drei Diagonaltypen an.
Achtecke kommen in Architektur, Technik und Alltagsgegenständen häufig vor. Stoppschilder sind regelmäßige Achtecke, international standardisiert, weil ihre Form schon aus der Ferne und auch bei teilweiser Sichtbehinderung unverwechselbar ist. Das Baptisterium von Florenz, der Kuppelunterbau der Basilius-Kathedrale und der Hof des Castel del Monte sind berühmte achteckige Bauwerke. Im Ingenieurwesen bieten achteckige Querschnitte einen guten Kompromiss aus Strukturfestigkeit und Fertigungsaufwand: Sie nähern sich einem Kreis stärker an als ein Sechseck und bleiben dennoch leicht zu messen und zu schneiden.
Bei Fliesen- und Pflastermustern erfordert das Achteck-Plus-Quadrat-Muster ein Flächenverhältnis von 1:(1+√2)². In der Holz- und Metallbearbeitung verwenden Dreher und Zerspaner achteckiges Rohmaterial als Zwischenschritt beim Abrunden zylindrischer Teile. Die Beziehung zwischen Seitenlänge und Umkreisradius eines regelmäßigen Achtecks ist wichtig für die Planung achteckiger Pavillonfundamente, das Zuschneiden achteckiger Spiegelrahmen oder das Entwerfen achteckiger Säulenbasen.
Dieser Rechner verwendet für alle Berechnungen IEEE-754-Doppelpräzisionsarithmetik und liefert für jede positive Seitenlänge Ergebnisse mit einer Genauigkeit von zehn signifikanten Stellen. Alle sieben Ausgabewerte — Fläche, Umfang, Apothem, Umkreisradius, kurze Diagonale, mittlere Diagonale und lange Diagonale — werden aus einer einzigen Seitenlänge berechnet.
Achteck-Beispiele
Vier Beispiele aus typischen Anwendungen regelmäßiger Achteckberechnungen.
| Seitenlänge (a) | Fläche | Kontext |
|---|---|---|
| a = 10 | Fläche ≈ 482.843 | Ein Standard-Achteck mit Seitenlänge 10. Umfang = 80, Apothem ≈ 12.071, Umkreisradius ≈ 13.066. Nützlich zur Berechnung einer Pavillonfläche. |
| a = 2.5 | Fläche ≈ 30.178 | Kleines Achteck, z. B. als Logoelement. Umfang = 20, Apothem ≈ 3.018. |
| a = 120 | Fläche ≈ 69,529 | Großes architektonisches Achteck mit Seitenlänge 120 cm (als Pavillonbasis). Umfang = 960 cm, Umkreisradius ≈ 156.8 cm. |
| a = 7.75 | Fläche ≈ 289.77 | Gebrochene Seitenlänge zur Prüfung der Genauigkeit. Zeigt, dass der Rechner nicht ganzzahlige Eingaben korrekt verarbeitet. |
So verwenden Sie den Achteck-Rechner
- Geben Sie die Seitenlänge des regelmäßigen Achtecks im Feld Seitenlänge (a) ein. Sie können jede Einheit verwenden — cm, Meter, Zoll, Fuß — und die Ergebnisse erscheinen in derselben Einheit (die Fläche entsprechend in Einheit²).
- Klicken Sie auf Berechnen. Im Ergebnisbereich werden Fläche, Umfang, Apothem, Umkreisradius, kurze Diagonale und lange Diagonale gleichzeitig angezeigt.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um die Eingabe zu löschen und mit einer neuen Seitenlänge zu beginnen.
- Mit den Beispielschaltflächen unter der Tabelle können Sie gängige Seitenlängen — 10, 2.5 oder 120 — sofort laden.
- Um aus einer bekannten Fläche die Seitenlänge zurückzurechnen, lösen Sie a = √(Fläche / (2(1+√2))) mit der unten angezeigten Formel.
Achteck-Rechner FAQ
Wie lautet die Flächenformel für ein regelmäßiges Achteck?
Die Fläche eines regelmäßigen Achtecks mit Seitenlänge a lautet A = 2(1+√2)a². Für a = 10 ergibt das 2(1+1.41421)×100 = 2×2.41421×100 ≈ 482.84 Flächeneinheiten. Die Formel entsteht, wenn man das Achteck in ein zentrales Rechteck, vier Rechtecke entlang der Seiten und vier rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke an den Ecken zerlegt und die Teilflächen addiert.
Was ist das Apothem eines Achtecks?
Das Apothem (Inkreisradius) ist der senkrechte Abstand vom Zentrum des Achtecks zum Mittelpunkt einer beliebigen Seite. Bei Seitenlänge a gilt a(1+√2)/2. Das Apothem ist der Radius des größten Kreises, der in das Achteck passt. Es wird in der alternativen Flächenformel A = Apothem × Umfang / 2 verwendet, die für jedes regelmäßige Polygon gilt.
Was ist der Umkreisradius eines regelmäßigen Achtecks?
Der Umkreisradius ist der Abstand vom Zentrum zu einem der acht Eckpunkte. Bei Seitenlänge a gilt (a/2)√(4+2√2). Der Umkreisradius ist der Radius des kleinsten Kreises, der das Achteck umschließt. Er ist immer größer als das Apothem; beim Achteck beträgt das Verhältnis Umkreisradius/Apothem = √(4+2√2) / (1+√2) ≈ 1.0824.
Wie viele Diagonalen hat ein regelmäßiges Achteck?
Ein regelmäßiges Achteck hat insgesamt 8(8−3)/2 = 20 Diagonalen. Sie fallen in drei Längenklassen: 8 kurze Diagonalen mit Länge a√(2+√2) ≈ 1.848a (verbinden Ecken mit 2 Ecken Abstand), 8 mittlere Diagonalen mit Länge a(1+√2) ≈ 2.414a (verbinden Ecken mit 3 Ecken Abstand) und 4 lange Diagonalen (Durchmesser) mit Länge a√(4+2√2) ≈ 2.613a, die gegenüberliegende Ecken verbinden. Dieser Rechner zeigt alle drei Typen.
Warum ist ein Stoppschild achteckig?
Stoppschilder sind regelmäßige Achtecke, weil die Form sofort erkennbar ist — sie ist das einzige gängige Verkehrsschild mit acht Seiten — und weil sie symmetrisch genug ist, um aus jedem Anfahrwinkel lesbar zu bleiben. Die achteckige Form ist in der Wiener Straßenverkehrs-Konvention festgelegt und damit nahezu ein weltweiter Standard. Selbst wenn das Schild teilweise durch Schnee oder ein Fahrzeug verdeckt ist, ist das markante rote Achteck unverwechselbar.
Kann ich das Achteck auch aus Fläche oder Umfang statt aus der Seitenlänge berechnen?
Ja, durch Umstellen der Formeln. Wenn Sie den Umfang P kennen, gilt Seitenlänge = P/8. Wenn Sie die Fläche A kennen, gilt Seitenlänge = √(A / (2(1+√2))). Wenn Sie das Apothem r kennen, gilt Seitenlänge = 2r/(1+√2). Sobald Sie die Seitenlänge haben, geben Sie sie in diesen Rechner ein und erhalten alle anderen Maße sofort.