Abstandsformel-Rechner: 2D und 3D

Die Abstandsformel ist eines der am häufigsten verwendeten Ergebnisse der Koordinatengeometrie. Sie liefert die direkte, also euklidische, Distanz zwischen zwei Punkten in der Ebene oder im Raum. In zwei Dimensionen lautet die Formel d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²); in drei Dimensionen erweitert sie sich zu d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). Beide Formeln sind direkte Anwendungen des Satzes des Pythagoras: Die horizontalen, vertikalen und Tiefenunterschiede bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und die Distanz zwischen den Punkten ist die Hypotenuse. Die 2D-Formel taucht überall in der elementaren Koordinatengeometrie auf. Immer wenn die Länge einer Strecke zwischen zwei bekannten Punkten gebraucht wird — eine Dreiecksseite, der Radius eines Kreises bei gegebenem Mittelpunkt und einem Punkt auf dem Rand, die Entfernung zwischen zwei Städten auf einer Karte — liefert die Abstandsformel in einer einzigen Rechnung die Antwort. Die 3D-Version ist ebenso wichtig in der Volumengeometrie, Computergrafik, Robotik und Physik, wo Positionen im Raum als Tripel (x, y, z) dargestellt werden. Ein nützlicher Sonderfall ist die Distanz eines Punktes zum Ursprung. Setzt man (x₁, y₁) = (0, 0), vereinfacht sich die 2D-Formel zu d = √(x₂² + y₂²), was auch die Formel für den Betrag (die Länge) des Vektors (x₂, y₂) ist. Diese Verbindung zwischen Distanz und Vektorbetrag ist zentral in der linearen Algebra: Die euklidische Norm eines Vektors ist genau die Distanz von der Spitze des Vektors zum Ursprung. In Informatik und Data Science spielt die euklidische Distanz eine große Rolle. Im maschinellen Lernen klassifiziert der k-Nächste-Nachbarn-Algorithmus Datenpunkte anhand ihrer Distanz zu gelabelten Beispielen. Bei Clustering-Algorithmen wie k-means werden Punkte dem Cluster zugeordnet, dessen Zentrum in euklidischer Distanz am nächsten liegt. In der Bildverarbeitung misst die euklidische Distanz zwischen Pixel-Farbwerten die Farbübereinstimmung. In der Computergrafik bilden Distanzberechnungen die Grundlage für Kollisionserkennung, Ray Casting und Shading-Modelle. Für sehr große oder sehr kleine Koordinaten verwendet der Rechner standardmäßige Fließkommaarithmetik und liefert Ergebnisse mit einer Genauigkeit von mindestens zehn signifikanten Stellen. Die Formel ist symmetrisch — beim Vertauschen der beiden Punkte bleibt die Distanz gleich — daher ist die Eingabereihenfolge egal. Geben Sie zwei beliebige Punkte in 2D oder 3D ein, und der Abstandsformel-Rechner liefert die exakte euklidische Distanz zusammen mit der Formel, damit Sie die Berechnung Schritt für Schritt nachvollziehen können.