3D-Entfernungsrechner

Die dreidimensionale Entfernung, auch euklidische Distanz im 3D-Raum genannt, ist die Länge der geraden Strecke, die zwei Punkte in einem Koordinatensystem verbindet, das durch drei senkrechte Achsen definiert ist: x (horizontal), y (vertikal) und z (Tiefe). Sie beschreibt den kürzestmöglichen Weg zwischen zwei Punkten im Raum und unterscheidet sich damit von der Taxifahrer- oder Manhattan-Distanz, die entlang der Achsen verläuft. Die 3D-Entfernungsformel ist eine direkte Erweiterung des Satzes des Pythagoras in zwei Dimensionen. Für zwei Punkte P₁(x₁, y₁, z₁) und P₂(x₂, y₂, z₂) lautet die Entfernung d: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Die Herleitung wendet den Satz des Pythagoras zweimal an: zuerst, um die Diagonale über die Grundfläche eines imaginären Quaders zu finden, der die beiden Punkte umfasst, und dann erneut, um die echte 3D-Diagonale mit dieser Grundflächendiagonale und der Höhendifferenz zu bestimmen. Negative Koordinaten sind kein besonderes Problem. Da jede Koordinatendifferenz vor der Summe quadriert wird, ist das Ergebnis immer nicht negativ, und die Wurzel liefert stets eine reelle, nicht negative Entfernung. Beispielsweise beträgt die Entfernung zwischen (−3, 0, 5) und (2, −4, 1) √((2−(−3))² + (−4−0)² + (1−5)²) = √(25 + 16 + 16) = √57 ≈ 7.55. Konsistente Einheiten sind entscheidend. Alle drei Koordinaten beider Punkte müssen in derselben Einheit angegeben werden. Wenn Sie Meter und Zentimeter mischen oder Breitengrad in Grad mit Höhe in Metern kombinieren, liefert die Formel eine bedeutungslose Zahl. Die ausgegebene Entfernung wird in derselben Einheit wie die Eingaben angegeben. Die 3D-Entfernungsformel liegt zahlreichen Berechnungen aus der Praxis zugrunde. In der Physik misst sie den Abstand zwischen Teilchen, die Größe von Verschiebungsvektoren und den Radius von Kugeln im 3D-Raum. Im Ingenieurwesen und in CAD-Anwendungen prüft sie, ob zwei Bauteile den richtigen Abstand haben, oder berechnet die Länge eines Diagonalelements in einer 3D-Struktur. In Computergrafik und Spieleentwicklung beruhen Kollisionsprüfung, Beleuchtungsberechnungen und Bewegungen von Figuren auf schnellen 3D-Entfernungsberechnungen. In Luftfahrt und Raumfahrt verfolgen Fluglotsen und Satellitensysteme Abstände in drei Dimensionen — Breite, Länge und Höhe. In der Molekularbiologie bestimmen die Abstände zwischen Atomen in einer Proteinstruktur, wie sich das Protein faltet und funktioniert. Ein häufiger Fehler bei manuellen Berechnungen ist es, den dritten Term (z₂ − z₁)² zu vergessen und nur die auf die xy-Ebene projizierte 2D-Entfernung zu berechnen. Die 2D-Projektion liefert nur dann das richtige Ergebnis, wenn beide Punkte dieselbe z-Koordinate haben (also in derselben horizontalen Ebene liegen). In allen anderen Fällen ist die wahre 3D-Entfernung immer größer oder gleich der 2D-Projektionsentfernung.