Sehnenrechner: Sehne und Bogen

Der Sehnenrechner ist ein präzises geometrisches Werkzeug, mit dem sich Kreisprobleme sofort lösen lassen. Aus Radius und Mittelpunktswinkel eines Kreises berechnet er vier zusammenhängende Größen: Sehnenlänge, Bogenlänge, Sektorfläche und Segmentfläche. Diese Größen tauchen in Technik, Architektur, Fertigung und Mathematik häufig auf, weshalb ein zuverlässiger Rechner für Fachleute und Studierende gleichermaßen wichtig ist. Eine Sehne ist ein gerades Liniensegment, dessen beide Endpunkte auf dem Kreisumfang liegen. Ihre Länge hängt vollständig von zwei Dingen ab: dem Kreisradius und dem von der Sehne überspannten Mittelpunktswinkel. Die Grundformel lautet c = 2r × sin(θ/2), wobei r der Radius und θ der in Grad gemessene Mittelpunktswinkel ist. Da Sinus eine nichtlineare Funktion ist, führen gleiche Winkelzuwächse nicht zu gleichen Zuwächsen der Sehnenlänge — ein Zusammenhang, der viele Erstnutzer überrascht. Die Bogenlänge misst die gekrümmte Strecke entlang des Kreisrandes zwischen denselben beiden Endpunkten, die die Sehne bestimmen. Während die Sehne gerade durchschneidet, folgt der Bogen dem Kreisrand. Die Formel lautet s = r × θ_rad, wobei θ_rad der in Bogenmaß umgerechnete Mittelpunktswinkel ist (θ × π/180). Für einen Vollkreis (360°) ergibt sich die bekannte Umfangsformel C = 2πr. Die Sektorfläche ist die Fläche des keilförmigen Bereichs, der von zwei Radien und dem Bogen begrenzt wird. Sie wird berechnet mit A_sector = (θ/360) × πr² und stellt den Anteil der gesamten Kreisfläche dar, den der Sektor einnimmt. Bei 90° ist der Sektor genau ein Viertel des Kreises. Die Segmentfläche ist der Bereich zwischen Sehne und Bogen — eine sichelförmige Fläche. Dazu zieht man von der Sektorfläche die Dreiecksfläche ab, die von den beiden Radien und der Sehne gebildet wird: A_segment = A_sector − (½)r²sin(θ). Bei θ = 180° wird das Dreieck zu null Fläche, und das Segment entspricht dem Halbkreis. Ingenieure verwenden Sehnen- und Bogenberechnungen beim Entwurf von Bogenbrücken, gekrümmten Straßenübergängen, Rohrbögen und Zahnradprofilen. Architekten verlassen sich bei runden Fenstern, Kuppeldecken und gebogenen Fassaden darauf. Zerspaner wenden die Formeln auf runde Vorrichtungsplatten, Nockenprofile und Präzisionsschnitte an. Studierende begegnen diesen Zusammenhängen in Trigonometrie, Analysis und analytischer Geometrie. Alle Eingaben werden geprüft, damit r > 0 und 0 < θ ≤ 360° gilt. Die Ergebnisse werden mit vier Dezimalstellen angezeigt, was für die meisten technischen und mathematischen Anwendungen ausreichend genau ist. Bei Winkeln nahe 0° oder 360° bleibt die Gleitkommarechnung genau, da sin() in der Nähe dieser Werte numerisch stabil ist.