彈性常數計算器 - 楊氏、剪切與體積模數

各向同性線彈性材料只需要兩個獨立彈性常數即可完整描述。實務上常見四個參數——楊氏模數 E、剪切模數 G、體積模數 K 與泊松比 ν——但只有兩個是獨立的；另外兩個永遠可由第一組常數透過線彈性的精確關係推導得到。 楊氏模數 E 衡量材料在單軸拉伸或壓縮應力下的剛性。它定義為線彈性區域中軸向應力與軸向應變之比：E = σ / ε。高楊氏模數表示材料在軸向載重下變形很小——鋼（≈200 GPa）遠比橡膠（≈0.01–0.1 GPa）剛硬。由於拉伸試驗相當直接，E 是最常被列表記載的性質。 泊松比 ν 描述材料軸向拉伸時橫向收縮的程度：ν = −ε_lateral / ε_axial。多數結構材料的 ν 介於 0.25 到 0.35；軟木的 ν ≈ 0（無橫向收縮），負泊松比材料則具有負 ν（受拉時橫向膨脹）。各向同性材料的理論界限為 −1 < ν < 0.5；接近 0.5 的值表示近似不可壓縮（橡膠、軟組織）。 剪切模數 G（也稱剛性模數）連結剪切應力與剪切應變：G = τ / γ。它主導材料抵抗扭轉與無體積變化形狀改變的能力。由 E 與 ν 可得：G = E / [2(1 + ν)]。由 E 與 K 可得：G = 3EK / (9K − E)。 體積模數 K 衡量材料抵抗均勻體積壓縮的能力：K = −V × (dP/dV)。高體積模數表示材料幾乎不可壓縮。由 E 與 ν 可得：K = E / [3(1 − 2ν)]。液體具有體積模數，但剪切模數基本為零，因為它們在持續剪切下會流動。 拉梅參數 λ 與 μ（其中 μ = G）廣泛用於理論彈性學與地球物理。λ = K − (2/3)G = Eν / [(1+ν)(1−2ν)]。它們自然出現在彈性波運動方程式中：P 波速度 V_P = √[(K + 4G/3)/ρ]，S 波（剪切波）速度 V_S = √(G/ρ)，其中 ρ 為密度。地震學家量測 P 波與 S 波走時，以推斷公里尺度深度的地下彈性常數。 對結構工程師而言，知道任意兩個常數即可對各向同性構件進行完整應力分析：撓度、屈曲載重、共振頻率與接觸應力的計算都需要 E、G、K 或 ν。本計算器自動完成任意兩個已知常數與其餘兩個常數之間的換算，支援機械、土木、航太與大地工程中的材料表徵。