時間膨脹計算器
使用愛因斯坦狹義相對論計算相對論時間膨脹
輸入運動參考系的速度、運動觀察者經歷的固有時間，以及光速，即可計算靜止參考系中觀察到的膨脹後時間、洛侖茲因子 γ 與時間差。
時間膨脹計算器
使用愛因斯坦狹義相對論計算相對論時間膨脹
關於時間膨脹計算器
時間膨脹是愛因斯坦於 1905 年發表的狹義相對論中最反直覺、卻又被實驗充分證實的預言之一。它告訴我們時間並不是絕對的：時鐘走動的速率取決於它相對於觀察者運動得有多快。相對於靜止觀察者以速度 v 運動的時鐘，會按洛侖茲因子 γ = 1 / √(1 − v²/c²) 變慢，其中 c 是真空中的光速。
核心公式是 t′ = γ × t₀，其中 t₀ 是固有時間——即運動時鐘自身記錄的時間——而 t′ 是靜止觀察者記錄的座標時間。因為 γ 始終 ≥ 1，靜止觀察者測得的時間間隔總是比運動時鐘顯示的更長。時間差 Δt = t′ − t₀ 在 v = 0 時為零，並隨著 v 接近 c 而無限增大。
在日常速度下——即使是國際太空站約 7.9 km/s 的速度——洛侖茲因子與 1 的差別也只在小數點後第十位，因此在日常生活中幾乎察覺不到。但在精密計量與衛星導航領域，這些微小差異就非常重要。GPS 衛星以約 3.87 km/s 的速度繞地運行；狹義相對論會讓其機載時鐘相對於地面時鐘每天慢約 7 微秒。若不加修正，GPS 的位置誤差每天會累積到約 2 公里。
在更高速度下，效應會變得非常戲劇化。當速度達到光速的 86.6% 時，γ = 2，運動時鐘的走時速率只有靜止時鐘的一半。到了 99% c，γ ≈ 7.1；到了 99.9% c，γ ≈ 22.4。這種膨脹在粒子物理中被直接觀測到：宇宙射線在高層大氣中產生的緲子，其靜止系半衰期只有 2.2 微秒，按這個壽命最多只能飛行約 660 公尺就會衰變。可是在地球表面，緲子經常在飛行 15 公里後仍能被探測到，因為它們在地球參考系中被觀測到的半衰期會按 γ ≈ 22 膨脹到約 48 微秒。
這個計算器讓你能夠探索從零到接近光速的完整速度範圍中的時間膨脹，非常適合物理學生、航太工程師，以及任何對時間與相對論感興趣的人。
時間膨脹範例
這些範例展示了從衛星軌道到相對論粒子的不同速度下的時間膨脹。
| 情境 | 膨脹後時間 | 說明 |
|---|---|---|
| GPS 衛星：v = 3 874 m/s，t₀ = 86 400 s（1 天） | t′ ≈ 86 400.000 002 s（僅狹義相對論造成的 Δt ≈ 2 μs/天） | GPS 衛星以約 3.87 km/s 的速度繞行。僅狹義相對論的時間膨脹會讓衛星時鐘每天慢約 7 μs。廣義相對論效應（高度）再加上 +45 μs/天，淨增約 38 μs/天，因此 GPS 韌體會預先校正。 |
| 10% 光速太空船：v = 29 979 246 m/s，t₀ = 3 600 s | t′ ≈ 3 618 s，γ ≈ 1.005 | 在光速的 10% 時，洛侖茲因子只有 1.005，因此時間膨脹很小，但仍可量測——一小時大約多出 18 秒。 |
| 90% 光速太空船：v = 269 813 212 m/s，t₀ = 1 s | t′ ≈ 2.294 s，γ ≈ 2.294 | 當速度達到光速的 90% 時，效應就變得非常明顯——船艙內的 1 個固有秒，在靜止觀察者看來約為 2.29 秒。 |
| 99.5% 光速的緲子：v = 298 344 295 m/s，t₀ = 2.2 μs | t′ ≈ 22 μs，γ ≈ 10 | 宇宙射線產生的緲子在高層大氣中生成，因為它們 2.2 μs 的半衰期在地球參考系中被膨脹到約 22 μs，足以飛行約 6.6 km 並到達海平面。 |
如何使用時間膨脹計算器
- 在速度欄位中輸入運動物體或參考系的速度，單位為公尺每秒。若要輸入光速的某個比例，將該比例乘以 299 792 458。
- 輸入固有時間 t₀——也就是隨運動物體一起移動的時鐘所測得的時間間隔——單位為秒。
- 光速 c 預設為 299 792 458 m/s（國際單位制的精確定義值）。你可以變更它來探索假設情境或使用不同單位。
- 按下計算即可查看洛侖茲因子 γ、速度占光速的比例（β = v/c）、膨脹後時間 t′ = γ × t₀，以及時間差 t′ − t₀。
- 使用範例按鈕可載入真實情境，包括 GPS 衛星、以 10% 光速飛行的太空船，以及相對論粒子。
時間膨脹常見問題
什麼是時間膨脹？
時間膨脹是愛因斯坦狹義相對論的一個結果。它指出，與靜止觀察者相比，運動中的時鐘走得更慢。運動的時鐘速度越快，它走得就越慢。這不是機械效應，而是時空的基本性質。從運動時鐘自身的角度看，時間流逝是正常的；只有在兩只時鐘再次相遇並比較時，膨脹才會顯現出來。
什麼是洛侖茲因子，它如何運作？
洛侖茲因子 γ = 1 / √(1 − v²/c²) 用來量化相對論效應的大小。在低速下，γ ≈ 1，相對論效應可以忽略。隨著 v 接近 c，γ 會迅速增大，並在 v = c 時趨於無限大，這也是有質量的物體無法達到光速的原因。膨脹後的時間為 t′ = γ × t₀，其中 t₀ 是固有時間（運動參考系中的時間），t′ 是座標時間（靜止參考系中的時間）。
時間膨脹有實驗確認嗎？
有——時間膨脹已被大量實驗確認。1971 年的哈菲爾–基廷實驗把原子鐘搭載在飛機上飛行，並測得與相對論預測相符的時間差。宇宙射線在高層大氣中產生的緲子之所以能到達海平面，是因為它們的壽命在地球參考系中被膨脹了——粒子加速器中的實驗也已高精度驗證這一點。GPS 衛星要保持公分級精度，必須同時進行狹義和廣義相對論修正。
固有時間和座標時間有什麼差別？
固有時間（t₀）是隨運動物體一起移動的時鐘所測得的時間，也就是運動觀察者所經歷的「自然」時間。座標時間（t′）是靜止觀察者看到運動時鐘時所測得的時間。狹義相對論告訴我們 t′ = γ × t₀，因此靜止觀察者總是測得比運動時鐘顯示更長的時間間隔。這種不對稱性正是著名雙生子佯謬的核心。
什麼是雙生子佯謬？
雙生子佯謬描述了這樣一個情境：一對雙胞胎中，一人留在地球上，另一人以相對論速度旅行後返回。旅行的雙胞胎會老得更少，因為他經歷的固有時間更少。表面上的悖論——「但從旅行者角度看，是地球在運動，那地球上的雙胞胎不應該更年輕嗎？」——可由旅行者必須減速並掉頭這一事實來解決，這打破了對稱性。加速度使兩個參考系之間產生差異，因此兩人重逢時，旅行者總是較年輕的一方。
這個計算器包含重力時間膨脹嗎？
不包含——這個計算器只使用洛侖茲因子計算狹義相對論（基於速度）的時間膨脹。由廣義相對論描述的重力時間膨脹發生在大質量天體附近：越接近重力源，時鐘走得越慢。對於 GPS 衛星，兩種效應都存在：衛星運動很快（狹義相對論使其時鐘每天慢約 7 μs），同時它們離地球更遠（廣義相對論使其時鐘每天快約 45 μs），因此淨增約 38 μs/天，必須加以修正。