屈曲計算器 - 歐拉臨界載重與應力

結構屈曲是一種突然失效模式：受壓細長構件不是繼續彈性縮短，而是發生側向撓曲。它在柱與撐桿設計中極為重要，因為屈曲可能在遠低於材料降伏強度的應力下發生，因此不同於單純的受壓破壞。 屈曲分析的理論基礎是歐拉公式，最早由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉於 1757 年推導。臨界屈曲載重——理想彈性柱從穩定平衡轉為不穩定平衡時的壓縮力——為： Pcr = (π² × E × I) / (K × L)² 其中 E 是材料的彈性模數（楊氏模數），I 是截面繞彎曲軸的截面二次矩（慣性矩），K 是考慮端部邊界條件的有效長度係數，L 是構件實際無支撐長度。K×L 稱為有效長度 Le。 有效長度係數 K 表示兩端邊界條件：固定-固定（兩端完全拘束）K = 0.5，固定-鉸支（一端固定、一端鉸支——實務上最常見）K = 0.7，鉸支-鉸支（兩端可自由轉動）K = 1.0，固定-自由（懸臂，一端固定、另一端完全自由）K = 2.0。請注意，較小的 K 會大幅提高臨界載重：固定-固定柱可承受相同鉸支-鉸支柱四倍的載重。 屈曲應力為 σcr = Pcr / A，其中 A 是截面積。若 σcr 超過材料降伏強度，構件會先降伏再屈曲，表示歐拉公式不再控制，應改用設計規範（如 AISC 360 或 Eurocode 3）中的非彈性屈曲公式。 抗屈曲安全係數定義為 SF = Pcr / P，其中 P 為實際施加載重。典型設計安全係數通常介於 1.5 到 3.0，取決於應用、設計規範與失效後果。安全係數低於 1.0 表示構件已經屈曲。 歐拉公式假設構件完全筆直、軸心受載、均質各向同性、呈彈性行為且撓度很小。實際柱會因初始缺陷、偏心載重、製造殘留應力與載重偏心而偏離這些假設。這些影響會使實際屈曲承載力低於歐拉預測，因此設計規範會採用折減係數並要求安全係數。 屈曲是鋼構建築柱、飛機機身框架、火箭殼體、液壓缸桿、自行車車架等許多結構的關鍵設計檢核。在橋梁桁架與大跨距結構中，上弦受壓構件必須一律檢核屈曲。長細比 KL/r（其中 r = √(I/A) 為迴轉半徑）是關鍵無因次參數：長細比越高，構件越容易屈曲。