黑體輻射計算器
使用普朗克、斯特凡-玻爾茲曼與維恩定律計算峰值波長、總輻射功率和光譜輻亮度。
輸入溫度、表面積、發射率以及感興趣的波長，即可立即計算所有關鍵黑體輻射量。
黑體輻射計算器
使用普朗克、斯特凡-玻爾茲曼與維恩定律計算峰值波長、總輻射功率和光譜輻亮度。
關於黑體輻射計算器
黑體是一種理想化物體，會吸收所有入射的電磁輻射，並且只依據自身溫度重新放射，不會反射或透射。自然界中沒有真正完美的黑體，但許多物體都能相當接近：太陽、白熾燈絲、恆星，甚至人體，都可以用黑體公式做出相當有用的描述。
黑體理論的基石是普朗克在 1900 年發表的輻射定律。它給出光譜輻亮度（單位面積、單位立體角、單位波長的輻射功率）如何隨溫度與波長變化：B(λ,T) = 2hc²/λ⁵ × 1/(e^(hc/λk_B T) − 1)，其中 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s 是普朗克常數，c = 2.998 × 10⁸ m/s 是光速，k_B = 1.381 × 10⁻²³ J/K 是波茲曼常數，λ 為波長，T 為以開爾文表示的絕對溫度。普朗克的推導要求把電磁場量子化為離散能量包（光子），這標誌著量子力學的誕生。
維恩位移定律指出，峰值發射波長與溫度成反比：λ_max = b/T，其中 b = 2.898 × 10⁻³ m·K 為維恩位移常數。對太陽（T ≈ 5778 K）而言，這代表 λ_max ≈ 501 nm——剛好位於可見綠光的中間，這並非巧合：人類視覺演化得對恆星的峰值輸出最為敏感。對地球（T ≈ 288 K）而言，λ_max ≈ 10.1 μm——屬於深紅外，因此熱像儀能拍攝室溫物體。
斯特凡-玻爾茲曼定律給出單位面積的總輻射功率：M = εσT⁴，其中 σ = 5.670 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ 為斯特凡-玻爾茲曼常數，ε 為表面的發射率。對完美黑體而言，ε = 1；對灰體而言，0 < ε < 1；對完美鏡面而言，ε = 0。面積為 A 的表面所發出的總功率為 P = εσAT⁴。
這個計算器會針對給定溫度與可選的表面性質，同時計算這些量。使用者指定波長處的光譜輻亮度採用完整的普朗克公式，因此你可以觀察光譜如何隨溫度移動——這正是光源色溫、溫室效應、恆星分類與行星表面遙測的基礎原理。
實際應用十分廣泛：照明工程師用黑體光譜來規範演色性指數；天文學家用維恩定律依顏色估算恆星表面溫度；氣候科學家用斯特凡-玻爾茲曼定律建模行星能量平衡；工業爐操作員則透過監測熱輻射光譜來控制溫度。
黑體輻射範例
點擊任一範例按鈕，即可將參數載入計算器。
| 參數 | 關鍵結果 | 來源 / 背景 |
|---|---|---|
| T=5778 K, A=1 m², λ=500 nm, ε=1 | λ_max ≈ 501.6 nm, P ≈ 6.32 × 10⁷ W, B ≈ 2.64 × 10⁴ W·m⁻²·sr⁻¹·nm⁻¹ | 太陽光球層 |
| T=288 K, A=1 m², λ=10000 nm, ε=0.98 | λ_max ≈ 10063 nm, P ≈ 382 W, B ≈ 7.96 × 10⁻³ W·m⁻²·sr⁻¹·nm⁻¹ | 地球平均表面 |
| T=2700 K, A=0.001 m², λ=700 nm, ε=0.9 | λ_max ≈ 1073 nm, P ≈ 2712 W, B ≈ 316 W·m⁻²·sr⁻¹·nm⁻¹ | 鎢絲（白熾燈） |
如何使用黑體輻射計算器
- 輸入開爾文溫度（K）。太陽可用 5778 K，地球表面可用 288 K，典型白熾燈燈絲可用 2700 K。
- 輸入表面積（m²）。使用 1 m² 可得到按每平方米計算的數值，或輸入發射體的實際面積。
- 輸入關注的波長，單位為奈米（nm）。可見光使用 380–700 nm；中紅外使用 3000–10000 nm。
- 輸入發射率（0–1）。理想黑體用 1，多數非金屬表面可用 0.9–0.95，拋光金屬可用 0.02–0.1。
- 點擊「計算」，即可查看峰值波長（維恩定律）、總輻射功率（斯特凡-玻爾茲曼定律）、所選波長處的光譜輻亮度（普朗克定律）以及輻射出射度。
常見問題
黑體和灰體有什麼差別？
完美黑體的發射率 ε = 1，會吸收所有入射輻射。灰體的 0 < ε < 1，在所有波長上都以黑體功率的固定比例輻射。真實表面的發射率通常還會隨波長變化，因此嚴格來說既不是黑體也不是灰體，但灰體近似對許多工程計算非常有用。
為什麼溫度升高時峰值波長會往藍端移動？
維恩位移定律 λ_max = b/T 表明，峰值波長與溫度呈直接反比。溫度越高，光子能量越大，對應的波長越短、越偏藍。紅熱金屬主要發出紅外光，外加一些深紅光；白熱金屬則會覆蓋整個可見光譜。
什麼是發射率，它如何影響結果？
發射率 ε 是某表面所發輻射與同溫度理想黑體輻射之比，範圍從 0（完美反射體）到 1（完美吸收體）。總功率與 ε 線性相關：發射率翻倍，發射功率也翻倍。它不會影響峰值波長，後者只由溫度決定。
維恩定律與普朗克公式相比有多準確？
維恩近似（忽略普朗克分母中的 −1）在遠低於峰值的波長處（hc/λk_BT ≫ 1）誤差可小於 1%，但在較長波長處會高估。若要計算精確的峰值波長，維恩位移定律是準確的。本計算器對光譜輻亮度使用完整的普朗克公式，對峰值波長使用維恩位移常數。
我可以用它來求光源的色溫嗎？
可以。色溫定義為：與該光源顏色相匹配的黑體溫度。白熾燈約為 2700 K（暖白），鹵素燈約 3200 K，日光約 6500 K，晴朗的藍天甚至可超過 10000 K。輸入溫度後，即可觀察峰值波長和光譜形狀。
什麼是斯特凡-玻爾茲曼常數？
斯特凡-玻爾茲曼常數 σ = 5.670 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴，將黑體單位面積輻射的總功率與其溫度的四次方連結起來：M = σT⁴。它可以由基本常數推導得出：σ = 2π⁵k_B⁴/(15h³c²)。它在恆星物理、氣候科學和熱工程中都扮演核心角色。