電場加速計算器 – 帶電粒子運動
計算帶電粒子在電場中的加速度、受力和能量
輸入粒子電荷、電場強度、質量、初速度與距離，即可計算粒子在電場中的受力、加速度、末速度與獲得的動能。
電場加速計算器 – 帶電粒子運動
計算帶電粒子在電場中的加速度、受力和能量
關於電場加速計算器
當帶電粒子置於電場中時，會受到一個與其電荷和電場強度成正比的力。這個靜電力會使粒子加速，從而改變其動能和速度。理解這個過程，是陰極射線管、粒子加速器、離子推進器和質譜儀等眾多物理與工程應用的基礎。
在非相對論範圍內，其基本方程很直接：電荷為 q、場強為 E 的粒子所受電場力為 F = qE（牛頓）。根據牛頓第二定律，粒子的加速度為 a = F/m = qE/m（m/s²），其中 m 為粒子質量（千克）。對於以初速度 v₀ 在場中運動距離 d 的粒子，末速度可由運動學方程 v² = v₀² + 2as 推得，得到 v_f = √(v₀² + 2ad)。粒子獲得的動能等於電場力所做的功：ΔKE = qEd（焦耳）。
在實際應用中，電場 E 通常由兩塊相距 L 的平行板之間的電位差（電壓）V 產生：E = V/L。這表示當粒子穿過全部板間距時，qEd = qV，因此自然引出了電子伏特的概念：1 eV 是一個單電荷粒子跨越 1 V 電位差時獲得的能量。回旋加速器和線性加速器（linac）等粒子加速器正是反覆利用這個原理，將粒子能量提升到 MeV 甚至 GeV 等級。
質譜儀則利用粒子的質量、帶電量與加速度之間的關係來分離離子。相同電荷但質量不同的離子會受到相同的力，卻具有不同的加速度，因此在後續磁場中表現出不同的速度和曲率半徑。這使化學家和生物化學家能夠極其精確地測量分子質量。
本計算器實現了均勻電場中帶電粒子的經典（非相對論）運動方程。它會計算電場力、加速度、末速度、獲得的動能，以及穿越指定距離所需的時間。這些結果在粒子速度遠低於光速時適用（工程上通常指低於 c 的約 10%）。
電場加速範例
這些範例涵蓋從陰極射線管到粒子加速器的常見帶電粒子情境。
| 粒子與電場 | 運動結果 | 說明 |
|---|---|---|
| q = −1.602×10⁻¹⁹ C, E = −50 000 N/C, m = 9.109×10⁻³¹ kg, v₀ = 0, d = 0.05 m | F = 8.01×10⁻¹⁵ N, a = 8.79×10¹⁵ m/s², v_f ≈ 2.97×10⁷ m/s | 陰極射線管中的電子被加速。電場指向陰極（負方向），因此會對帶負電的電子產生正向力。末速度約為光速的 10%。 |
| q = 1.602×10⁻¹⁹ C, E = 1 000 000 N/C, m = 1.673×10⁻²⁷ kg, v₀ = 10⁶ m/s, d = 0.1 m | F = 1.602×10⁻¹³ N, a = 9.58×10¹³ m/s², v_f ≈ 4.38×10⁶ m/s | 線性粒子加速器中的質子，初速度為 1 Mm/s。電場為質子帶來顯著的動能增量。 |
| q = 1.602×10⁻¹⁹ C, E = 10 000 N/C, m = 6.64×10⁻²⁶ kg, v₀ = 50 000 m/s, d = 0.02 m | F = 1.602×10⁻¹⁵ N, a = 2.41×10¹⁰ m/s² | 質譜儀電場中的單電荷離子。質譜儀正是利用這個原理，依質荷比來分離離子。 |
| q = 3.204×10⁻¹⁹ C, E = 5 000 N/C, m = 6.64×10⁻²⁷ kg, v₀ = 0, d = 0.01 m | F = 1.602×10⁻¹⁵ N, a = 2.41×10¹¹ m/s² | 中等電場中的 α 粒子（氦核，電荷 = +2e）。α 粒子帶雙電荷，質量約為電子的 7300 倍。 |
如何使用電場加速計算器
- 輸入粒子的電荷（庫侖）。常見粒子參考值：電子 = −1.602×10⁻¹⁹ C，質子 = +1.602×10⁻¹⁹ C，α 粒子 = +3.204×10⁻¹⁹ C。可使用科學記號（例如 1.602e-19）。
- 輸入電場強度，單位為牛頓/庫侖（N/C），它與伏特/米（V/m）等價。
- 輸入粒子質量，單位為千克。參考值：電子 ≈ 9.109×10⁻³¹ kg，質子 ≈ 1.673×10⁻²⁷ kg。
- 輸入初速度（單位 m/s；如果粒子從靜止開始，則填 0），以及粒子在電場中運動的距離（單位公尺）。
- 點擊「計算」即可查看電場力、加速度、末速度、獲得的動能以及估算的運動時間。
電場加速常見問題
帶電粒子如何被電場加速？
電場 E 會對電荷為 q 的粒子施加力 F = qE。根據牛頓第二定律，這個力會產生加速度 a = F/m = qE/m，其中 m 是粒子的質量。粒子隨後沿電場方向（負電荷則反向）運動，並因電場做功而獲得動能：ΔKE = qEd，其中 d 是距離。這是陰極射線管、粒子加速器與離子推進器背後的基本機制。
電場加速度的公式是什麼？
均勻電場中帶電粒子的加速度為 a = qE/m，其中 q 為庫侖單位的電荷，E 為 N/C（或 V/m）單位的場強，m 為千克單位的質量。得到加速度後，可由運動學公式求出末速度 v_f = √(v₀² + 2ad) 和時間 t = (v_f − v₀)/a。獲得的動能為 ΔKE = ½m(v_f² − v₀²) = qEd。
物理應用中典型的電場強度是多少？
電場強度因應用而異，範圍極大。陰極射線管通常使用 10 000–100 000 V/m 的電場來加速電子。線性粒子加速器在射頻腔中可以使用達數百萬 V/m 的電場。靜電條件下，導體球表面的電場可達 3×10⁶ V/m（空氣擊穿電壓）。在質譜儀中，1 000–100 000 V/m 的中等電場很常見。生物系統跨越細胞膜的電場通常處於 mV/m 到 V/m 的範圍。
為什麼在同一電場中，電子比質子加速得更快？
電子和質子都帶有相同大小的元電荷（1.602×10⁻¹⁹ C），因此在同一電場中會受到相同大小的電場力 F = qE。但電子的質量（9.109×10⁻³¹ kg）約比質子質量（1.673×10⁻²⁷ kg）小 1836 倍。由於加速度 a = F/m，在相同電場中電子的加速度會比質子大 1836 倍。這也是陰極射線管和電子顯微鏡使用電子束的原因——較低的質量使其在中等電壓下也能達到很高的速度。
帶電粒子在電場中的功-能定理是什麼？
帶電粒子沿均勻電場方向移動距離 d 時，電場力所做的功為 W = qEd。根據功-能定理，這等於動能的變化：ΔKE = ½mv_f² − ½mv₀² = qEd。利用這個關係，不必明確計算加速度和時間也能求出能量。粒子物理學中常用電子伏特（eV）表示粒子能量，其中 1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ J，是一個帶一個元電荷的粒子跨越 1 V 電位差時獲得的能量。
這個計算器是否考慮相對論效應？
不考慮——本計算器使用經典（非相對論）牛頓力學。當粒子速度遠低於光速（v ≪ c ≈ 3×10⁸ m/s）時，經典公式 a = qE/m 是準確的。對於通過較大電壓（大約 50 kV 以上）加速的電子，相對論修正會變得顯著；能量達到數百 keV 以上時，就必須使用相對論力學。對於質子和更重的粒子，由於質量更大，經典力學在更高能量範圍內仍然保持足夠精確。