Delta-V 計算器
使用齊奧爾科夫斯基火箭方程計算太空任務所需的速度變化——從近地軌道入軌到行星際轉移。
輸入初始質量、燃燒後的最終質量和排氣速度，即可計算 delta-v、消耗燃料和比衝。
Delta-V 計算器
使用齊奧爾科夫斯基火箭方程計算太空任務所需的速度變化——從近地軌道入軌到行星際轉移。
關於 Delta-V 計算器
Delta-v（寫作 Δv）是軌道力學中最重要的單一量。它表示太空船在整個任務過程中必須完成的總速度變化——無論是逃離地球重力、進入圓形軌道、在軌道之間轉移，或是為行星著陸減速。由於太空中的速度變化需要推進劑，任務設計師會把 delta-v 視為一種預算：總 delta-v 需求越高，火箭必須攜帶的推進劑越多，任務也就越重、成本越高。
齊奧爾科夫斯基火箭方程由康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基於 1903 年發表，是所有 delta-v 計算的數學基礎。方程式為：ΔV = Ve × ln(m₀ / mf)，其中 Ve 是推進劑的有效排氣速度（單位為公尺每秒），m₀ 是太空船的初始濕質量（包含全部推進劑），mf 是最終乾質量（推進劑消耗之後）。質量比 m₀/mf 的自然對數代表，要讓 delta-v 加倍，需要指數級更大的質量比——這正是火箭推進的根本挑戰，也是高 delta-v 任務採用多節火箭的原因。
排氣速度 Ve 與比衝 Isp 密切相關，關係式為 Ve = Isp × g₀，其中 g₀ = 9.80665 m/s² 是地球表面的標準重力加速度。比衝以秒為單位，是一種不依賴推進劑質量的引擎效率指標。燃燒液態氫和液態氧的化學火箭可達到 Isp ≈ 450 s（Ve ≈ 4,415 m/s），而離子推進器可以達到 Isp > 3,000 s，但代價是推力非常低。更高的 Isp 代表實現相同 delta-v 所需的推進劑更少，這也是太空船設計師大量投入高性能引擎的原因。
典型的 delta-v 預算展示了太空旅行的尺度：從地面到達近地軌道 (LEO) 約需 9,400 m/s（其中很大一部分用於克服上升過程中的大氣阻力和重力損失）；從 LEO 進行霍曼轉移到地球同步軌道 (GEO) 約需 3,900 m/s；從 LEO 進行地球–火星轉移約需 3,600 m/s；從月球軌道登陸月面約需 1,900 m/s。這些數值會迅速累加，因此每一公斤酬載或結構質量都會透過火箭方程轉化為顯著增加的推進劑需求。
本計算器接收三個主要輸入——初始質量、最終質量和排氣速度——並回傳以 m/s 和 km/s 表示的 delta-v、消耗的燃料質量、質量比以及等效比衝。這些結果適用於初步任務規劃、比較推進系統，以及核對軌跡軟體輸出。
Delta-V 計算器範例
從衛星機動到行星際轉移的真實任務情境。
| 任務 / 輸入 | Delta-V | 備註 |
|---|---|---|
| LEO 入軌：m₀ = 1000 kg，mf = 300 kg，Ve = 3000 m/s | ΔV ≈ 3611 m/s | 質量比 = 3.33；ln(3.33) × 3000。表示將酬載從次軌道軌跡提升到 200 km 圓形軌道所需的推進劑比例。 |
| GEO 轉移：m₀ = 500 kg，mf = 200 kg，Ve = 3200 m/s | ΔV ≈ 2929 m/s | 質量比 = 2.5；ln(2.5) × 3200。典型的遠地點變軌引擎燃燒，用於從霍曼轉移軌道在地球同步高度圓化軌道。 |
| 火星轉移：m₀ = 2000 kg，mf = 800 kg，Ve = 3500 m/s | ΔV ≈ 3211 m/s | 質量比 = 2.5；ln(2.5) × 3500。離開地球軌道並進入前往火星的最低能量軌跡所需的近似地火轉移注入燃燒。 |
| 衛星機動：m₀ = 100 kg，mf = 95 kg，Ve = 2800 m/s | ΔV ≈ 144 m/s | 小質量比 = 1.053；ln(1.053) × 2800。小型地球觀測衛星典型的定點保持或軌道修正燃燒。 |
如何使用 Delta-V 計算器
- 輸入太空船的初始（濕）質量，單位為公斤——這是包含本次燃燒裝載的所有推進劑在內的總質量。
- 輸入最終（乾）質量，單位為公斤——這是推進劑耗盡後剩餘的質量。
- 輸入引擎的有效排氣速度，單位為 m/s。如果只知道比衝（Isp，單位為秒），將其乘以 9.80665 即可得到排氣速度。
- 點擊計算。結果會顯示以 m/s 和 km/s 表示的 delta-v、消耗的燃料質量、質量比和等效比衝。
- 點擊重設以清除所有數值並開始新的計算。
Delta-V 計算器常見問題
什麼是 delta-v，為什麼它重要？
Delta-v 是太空船必須透過推進實現的總速度變化。它決定任務需要多少推進劑：由於火箭方程是指數關係，delta-v 需求每增加 1 m/s，所需推進劑質量都會被放大，因此 delta-v 是所有火箭任務的核心設計驅動因素。
如何將比衝轉換為排氣速度？
將 Isp（單位為秒）乘以標準重力 g₀ = 9.80665 m/s²。例如，Isp = 311 s 的引擎排氣速度為 311 × 9.80665 ≈ 3050 m/s。反過來，用排氣速度除以 g₀ 即可得到比衝。
為什麼火箭方程使用自然對數？
因為火箭燃燒推進劑時，其質量會連續降低，而每一小份被噴出的質量都會讓已經變輕的飛行器獲得略大的加速度。對這種隨時間變化的加速度積分，就會得到對數關係。其結果是，delta-v 加倍需要質量比平方級成長——這使高 Δv 任務對推進劑的需求極高。
常見太空任務的典型 delta-v 數值是多少？
從地面進入近地軌道需要 ≈9,400 m/s（包括重力和阻力損失）。LEO 到 GEO 轉移約為 ≈3,900 m/s。從地球到火星，從 LEO 出發約為 ≈3,600 m/s。從月球軌道登陸月面約為 ≈1,900 m/s。這些數字解釋了為什麼即使酬載小幅增加，也需要不成比例地增大火箭。
這個計算器可以處理多次燃燒嗎？
對於多次燃燒任務，請分別計算每次燃燒，然後將 delta-v 數值相加。任務總 delta-v 是所有單次燃燒的算術和。對於每次燃燒，都將該次燃燒開始時的太空船質量作為初始質量。這樣可以得到每一節或每次機動的推進劑預算。
什麼是質量比，典型數值是多少？
質量比是 m₀/mf，即初始質量除以最終質量。質量比為 2 表示初始質量的一半是推進劑。進入 LEO 的化學火箭需要約 8–10 的質量比，這也是採用多節火箭的原因。離子推進的深空探測器由於排氣速度極高，可以用低得多的質量比實現相同的 delta-v。