德布羅意波長計算器
依粒子的質量和速度或動能計算其量子力學波長，揭示量子物理核心的波粒二象性。
輸入粒子質量，以及速度、動能或直接動量，即可計算其德布羅意波長與相關量子性質。
德布羅意波長計算器
依粒子的質量和速度或動能計算其量子力學波長，揭示量子物理核心的波粒二象性。
關於德布羅意波長計算器
1924 年，法國物理學家路易·德布羅意提出革命性的主張：正如愛因斯坦已證明光（在古典觀點中是波）可以表現為粒子（光子），所有物質粒子——電子、質子，甚至日常物體——也應展現類波性質。與運動粒子相關的波長如今稱為德布羅意波長，由優雅的方程式 λ = h / p 給出，其中 λ 是波長，h 是普朗克常數 (6.62607015×10⁻³⁴ J·s)，p 是粒子的動量。
動量可用多種方式表示。對於質量為 m、以非相對論速度 v 運動的粒子，p = mv，因此 λ = h / (mv)。若已知粒子的動能 E，則使用 p = √(2mE)，所以 λ = h / √(2mE)。在某些情境中，動量可由實驗資料直接量測，例如磁場中粒子軌跡的曲率，此時可立即使用 λ = h / p。本計算器支援全部三種輸入模式。
德布羅意波長會隨動量增加而縮短：速度更快或質量更大的粒子會有較短波長。對於一個質量 9.1×10⁻³¹ kg、速度 2.2×10⁶ m/s 的電子（氫原子基態的典型值），波長約為 0.33 nm——與原子鍵長相當，這也是電子會被晶格繞射、電子顯微鏡能解析單一原子的原因。相較之下，一顆 145 g、以 40 m/s 投出的棒球，其德布羅意波長約為 1.1×10⁻³⁴ m——比任何質子都小許多個數量級，說明為何宏觀物體的量子效應完全無法觀測。
物質的波動性帶來深遠的實際影響。電子繞射支撐透射電子顯微鏡 (TEM)，並透過布拉格定律支撐 X 射線晶體學。量子穿隧——粒子穿過古典上禁止的能量屏障——直接取決於波長：波長越長（動量越低）越容易穿隧，這解釋了為何氫核能在太陽中於看似不足以克服庫侖屏障的溫度下發生融合。中子繞射可用來判定 X 射線看不見的晶體與分子結構，因為中子是被原子核散射，而非被電子雲散射。
對於速度 v 接近 c 的相對論性粒子，非相對論公式 p = mv 會低估動量。相對論動量為 p = γmv = mv / √(1 − v²/c²)。對 1 MeV 加速器中的電子而言，相對論修正會變得顯著。本計算器假設非相對論速度 (v << c)，這對高能粒子物理以外的大多數實驗室應用都有效。
計算範例
四個代表性案例，涵蓋從次原子粒子到宏觀物體。
| 粒子 / 情境 | 德布羅意波長 | 意義 |
|---|---|---|
| 氫原子基態中的電子：m = 9.1094×10⁻³¹ kg，v = 2.2×10⁶ m/s | λ ≈ 3.31×10⁻¹⁰ m (0.331 nm) | 與波耳半徑相當。基態中電子軌道的圓周正好是一個波長，符合波耳量子化。 |
| 粒子加速器中的質子：m = 1.6726×10⁻²⁷ kg，KE = 1.6×10⁻¹² J | λ ≈ 9.06×10⁻¹⁵ m (0.00906 pm) | 深次核尺度的波長。在此能量下，質子可探測其他質子的內部夸克結構。 |
| 熱中子：m = 1.6749×10⁻²⁷ kg，KE = 4.14×10⁻²¹ J（室溫） | λ ≈ 1.78×10⁻¹⁰ m (0.178 nm) | 非常適合中子繞射。波長符合典型原子間距，使熱中子成為測定晶體結構的理想工具。 |
| 棒球：m = 0.145 kg，v = 44.7 m/s (100 mph) | λ ≈ 1.02×10⁻³⁴ m | 波長比質子小 10²⁰ 倍。量子效應完全可忽略，古典物理完全適用。 |
如何使用德布羅意波長計算器
- 選擇輸入模式：若知道粒子速度，選「質量 + 速度」；若知道以焦耳為單位的能量，選「質量 + 動能」；若已直接量測動量，選「動量（直接）」。
- 輸入粒子質量，單位為公斤。常見粒子：電子 = 9.1094×10⁻³¹ kg，質子 = 1.6726×10⁻²⁷ kg，中子 = 1.6749×10⁻²⁷ kg。將 g 除以 1000 可換算為 kg。
- 依所選輸入模式，輸入速度 (m/s)、動能（焦耳；將 eV 乘以 1.60218×10⁻¹⁹ 可換算）或動量 (kg·m/s)。
- 按一下「計算」。結果會顯示以公尺、奈米和皮米表示的波長，以及所用動量和對應頻率。
- 按一下「重設」清除欄位。可使用計算範例區中的範例按鈕，將代表性粒子資料直接載入計算器。
常見問題
德布羅意波長在物理上代表什麼？
德布羅意波長是與運動粒子相關的量子力學波函數的空間週期。它描述量子干涉效應（如繞射和穿隧）顯著的尺度。當此波長與系統大小相當時，必須使用量子力學；當它遠小於所有相關長度尺度時，古典力學就足夠。
如何將電子伏特 (eV) 轉換為焦耳？
乘以基本電荷：1 eV = 1.60218×10⁻¹⁹ J。例如，100 eV 的電子具有動能 100 × 1.60218×10⁻¹⁹ = 1.60218×10⁻¹⁷ J。將此焦耳值與電子質量一起輸入「動能」欄位，即可得到對應的德布羅意波長。
為什麼計算器以 nm 和 pm 輸出波長？
奈米 (1 nm = 10⁻⁹ m) 適合電子顯微鏡中 0.01–1 nm 範圍的電子波長，也適合紫外線與軟 X 射線波長。皮米 (1 pm = 10⁻¹² m) 用於 X 射線晶體學和核物理，其中波長多為 1–100 pm。公尺作為 SI 基本單位也一併提供，以便完整表示與計算。
這個計算器是否納入相對論效應？
沒有——本計算器使用非相對論動量 p = mv 和 p = √(2mE)。當速度遠低於光速時，這是準確的。對電子而言，約高於 0.5 MeV (v > 0.86c) 時相對論修正會變得顯著。對質子和更重粒子，門檻按比例更高。極端能量下請使用相對論動量公式 p = γmv。
德布羅意波長和電子顯微鏡有什麼關聯？
任何顯微鏡的解析度大約受限於探針波長的一半。可見光波長為 400–700 nm，使光學顯微鏡解析度約限制在 200 nm。加速到 100 keV 的電子具有約 0.004 nm 的德布羅意波長——短 50,000 倍——使透射電子顯微鏡能以亞埃解析度拍攝單一原子。
宏觀物體真的有德布羅意波長嗎？
有，數學上確實有——但波長小到天文般難以偵測。一顆 1 g 的彈珠以 1 m/s 運動時，λ ≈ 6.6×10⁻³¹ m，比質子小約 20 個數量級。任何可預見技術都無法以干涉實驗解析這樣的波長，這就是日常經驗中沒有量子效應的原因。