波耳模型計算器：原子結構與電子性質
使用波耳原子模型，計算任意原子的電子能級、軌道半徑、速度和波長。
輸入原子序數、主量子數，以及可選的軌道量子數和磁量子數，即可探索電子性質。
波耳模型計算器：原子結構與電子性質
使用波耳原子模型，計算任意原子的電子能級、軌道半徑、速度和波長。
關於波耳模型計算器
波耳模型由丹麥物理學家尼爾斯·波耳於 1913 年提出，是第一個成功解釋氫光譜的原子結構量子描述。雖然後來已被更嚴謹的量子力學模型取代，波耳模型仍是重要的教學工具，並且對單電子繞核且原子序數為 Z 的類氫離子給出準確結果。
波耳模型的核心是兩個假設。第一，電子只會在某些允許的圓形軌道中繞核运動，這些軌道稱為定態，在其中電子不會輻射能量。第二，電子可以透過吸收或發射一個能量等於兩個能階差的光子，在這些軌道之間躍遷。這兩個概念把量子化能態引入原子物理，並為現代量子力學奠定了基礎。
類氫原子第 n 能階的能量為 E_n = −13.6 × Z² / n² eV，其中 Z 為原子序數，n 為主量子數（n = 1, 2, 3, …）。負號表示電子被束縛在原子核附近；能量越不負，代表軌道越高、束縛越弱。氫原子基態（Z = 1, n = 1）的能量為 −13.6 eV，而第一激發態（n = 2）的能量為 −3.4 eV。
軌道半徑依 r_n = a₀ × n² / Z 變化，其中 a₀ = 5.292 × 10⁻¹¹ m 是波耳半徑，也就是氫原子基態中電子與質子之間最可能的距離。隨著 n² 增加，更高能層的半徑會快速變大，表示受激電子會佔據更大的軌道。每個軌道中的電子速度會隨 n 增加而降低，公式為 v_n = α × c × Z / n，其中 α ≈ 1/137 是精細結構常數，c 是光速。
除了能量與半徑，波耳模型還可用來計算電子的德布羅意波長 λ = h / (m_e × v)、軌道週期 T = 2π r / v，以及允許的軌道量子數 (l) 和磁量子數 (m)。在更完整的量子力學圖像中，它們描述軌道的形狀與方向。
本計算器實作了上述所有關係，適合學習原子物理、光譜學、量子化學等相關領域的學生使用。輸入原子序數 Z（質子數）和主量子數 n，即可立即取得能量、半徑、速度和波長結果。可選的軌道量子數 l 與磁量子數 m 還能進一步指定某一殼層內的量子態。
波耳模型範例
透過實際原子組態示範如何應用波耳模型。
| tool.bohr-model-calculator.examples.colInput | 結果 | 說明 |
|---|---|---|
| Z = 1, n = 1（氫基態） | E = −13.60 eV, r = 5.29 × 10⁻¹¹ m | 電子位於玻耳半徑對應的最低能量軌道。這是氫最穩定的狀態。 |
| Z = 1, n = 2（氫第一激發態） | E = −3.40 eV, r = 2.12 × 10⁻¹⁰ m | 電子從基態吸收了 10.2 eV。軌道半徑是 n = 1 時的四倍。 |
| Z = 2, n = 1（類氫氦） | E = −54.40 eV, r = 2.65 × 10⁻¹¹ m | Z 加倍會讓束縛能變成四倍，並使軌道半徑減半，相較於同一 n 的氫原子。 |
| Z = 1, n = 3（氫第二激發態） | E = −1.51 eV, r = 4.76 × 10⁻¹⁰ m | 第三層比第一層大九倍。n = 3 的躍遷會在紅外線中產生帕申系。 |
如何使用波耳模型計算器
- 輸入原子序數 (Z)——原子核中的質子數。氫輸入 1，氦輸入 2，以此類推。
- 輸入主量子數 (n)——殼層編號。基態用 n = 1，第一激發態用 n = 2，依此類推。
- 可選輸入軌道量子數 (l，取值 0 到 n−1) 與磁量子數 (m，取值 −l 到 +l)，以指定更細的子態。
- 點擊計算，即可立即查看能階、軌道半徑、電子速度、德布羅意波長與軌道週期。
- 點擊重設可清除所有輸入並開始新的計算。
波耳模型計算器常見問題
什麼是原子的波耳模型？
波耳模型是尼爾斯·波耳於 1913 年提出的原子行星模型。它認為電子沿固定的圓形軌道（稱為殼層）繞核运動，每個殼層具有離散能量，而電子只有在這些允許軌道之間躍遷時才會放射或吸收輻射。雖然後來在多電子原子中已被量子力學取代，但對類氫（單電子）離子仍然準確。
主量子數 n 代表什麼？
主量子數 n（1、2、3、…）決定電子所在的殼層，並同時決定其能量與和原子核的平均距離。隨著 n 增加，能量變得不那麼負（束縛減弱），軌道半徑按 n² 增長。在基態中，n = 1 對應最低能量與最小軌道。
為什麼波耳模型中的能量是負的？
能量是相對於游離極限來定義的；在游離極限處，電子距離原子核無限遠且沒有動能。束縛電子的能量低於自由電子，因此束縛態能量為負。氫基態能量為 −13.6 eV，這表示要使基態氫原子游離，必須提供 13.6 eV 的能量。
波耳模型對多電子原子準確嗎？
波耳模型只對類氫離子——也就是只有一個電子的原子或離子——嚴格準確，例如 H、He⁺、Li²⁺ 等。對於多電子原子，電子—電子斥力和交換相互作用需要完整的量子力學處理。不過，波耳模型仍能提供有用的估算，並且是非常好的教學起點。
什麼是波耳半徑？
波耳半徑（a₀ ≈ 5.292 × 10⁻¹¹ m，或 0.529 Å）是氫原子基態中電子與質子之間最可能的距離。它為原子尺度提供了天然長度尺度。任意殼層的軌道半徑為 r_n = a₀ × n² / Z。
量子數 l 和 m 與波耳模型有什麼關係？
在最初的波耳模型中只使用 n。軌道量子數 l（0 到 n−1）和磁量子數 m（−l 到 +l）來自 Sommerfeld 對波耳思想的擴展，後來又由完整波動力學進一步建立。它們描述軌道的形狀與方向，反映磁場中的能量細分（塞曼效應），並可用來指定唯一的量子態。