組合與排列計算器（nCr nPr）

組合和排列是組合數學中最基本的兩個概念。組合數學關注計數、安排和選取。理解兩者的差異，對解決機率論、統計學、電腦科學以及日常決策中的各類問題都很重要。 組合（記作 C(n, r) 或 nCr）用來計算從 n 個不同項目中選取 r 個項目的方式數，且選取順序不重要。公式為 C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)，其中 n!（n 的階乘）表示從 1 到 n 的所有正整數乘積。例如，從 10 人中選 3 人組成委員會，有 C(10, 3) = 120 種可能的委員會，因為成員被選出的順序不影響結果。 排列（記作 P(n, r) 或 nPr）用來計算從 n 個不同項目中選出 r 個項目並安排順序的方式數，此時順序很重要。公式為 P(n, r) = n! / (n − r)!。同樣以 10 人為例，如果要任命主席、副主席和財務長，職位順序至關重要，因此有 P(10, 3) = 720 種安排。 關鍵差異在於順序。可以問自己：交換兩個已選項目的位置，是否會產生有意義的不同結果？如果會，就需要排列；如果不會，則適用組合。牌局中的手牌是組合（不論抽牌順序如何，A-K-Q 都是同一手牌），但 PIN 碼是排列（1-2-3-4 不同於 4-3-2-1）。 組合和排列廣泛出現在現實場景中。在機率中，它們定義樣本空間大小，用於計算特定結果發生的可能性——例如，從 49 個號碼中選 6 個贏得彩券的機率是 C(49, 6) = 13,983,816 分之一。在電腦科學中，它們用於分析演算法複雜度、產生測試案例和設計雜湊函式。在遺傳學中，它們用於模擬等位基因如何組合。在商業中，投資組合經理會用它們列舉可能的資產配置。 此計算器支援三種模式：僅組合、僅排列，或同時計算兩者。只要輸入 n（總集合大小）和 r（選取數量），選擇模式，然後點擊「計算結果」。工具會立即處理所有階乘運算，即使 n 很大、手動計算不切實際，也能快速給出結果。