指數回歸計算器

指數回歸是一種曲線擬合技術，用來為一組資料點尋找最符合的指數函數 y = ab^x。當資料呈現指數成長或衰減時，就適合使用這種方法——在圖形上，資料點通常會呈現 J 形曲線（成長）或向下彎曲的凹形曲線（衰減）。指數模型在取對數後會變成線性形式：對兩邊取自然對數可得 ln(y) = ln(a) + x·ln(b)，這就是關於 ln(y) 與 x 的線性方程。 擬合過程採用對線性化方程套用最小平方法。具體來說，我們在 ln(y) 空間中最小化殘差平方和。由此可得公式：ln(b) = [n·Σ(x·ln y) − Σx·Σ(ln y)] / [n·Σx² − (Σx)²]，以及 ln(a) = [Σ(ln y) − ln(b)·Σx] / n，進而求得 a = e^(ln a) 與 b = e^(ln b)。 模型 y = ab^x 可以這樣理解。係數 a 是 y 截距：它表示 x = 0 時 y 的值。底數 b 控制變化率：如果 b > 1，模型表示成長，每增加 1 個 x，y 都會以 b 的倍數變化（例如 b = 1.05 表示 x 每增加 1，成長 5%）。如果 0 < b < 1，模型表示衰減。成長率百分比為 (b − 1) × 100%。 決定係數 R² 以 0 到 1 的尺度衡量模型與資料的擬合程度。R² = 0.95 表示原始 y 值中有 95% 的變異可由指數模型解釋。對科學資料來說，R² 高於 0.90 通常可視為良好擬合。相關係數 R = √R² × sign(ln b) 表示指數關係的方向與強度。 重要限制：由於對數在 0 和負數上無定義，指數回歸要求所有 y 值都必須為正。如果你的資料包含非正 y 值，可能需要對資料進行轉換或平移，或者考慮改用其他回歸模型，例如多項式回歸。