擲硬幣模擬器 - 線上隨機擲幣
使用我們的線上擲硬幣工具，立即擲出 1 枚或上千枚硬幣——可選擇公平或偏置硬幣，並即時查看正反面統計。
設定擲幣次數、選擇硬幣類型，然後點擊「擲硬幣」即可模擬隨機擲幣並即時查看統計結果。
擲硬幣模擬器 - 線上隨機擲幣
使用我們的線上擲硬幣工具，立即擲出 1 枚或上千枚硬幣——可選擇公平或偏置硬幣，並即時查看正反面統計。
一枚平衡的硬幣，正面和反面的機率都恰好是 50%。
關於擲硬幣模擬器
擲硬幣模擬器是一款隨機模擬工具，使用經過加密種子初始化的偽隨機數產生器來重現實體擲硬幣的結果。每一次模擬擲幣在統計上都是獨立的，這代表某次擲幣的結果不會影響其他任何一次——就像真正公平的硬幣一樣。此模擬器同時支援公平硬幣（正面和反面的機率各為 50%）以及偏置硬幣，你可以將正面機率設為 0% 到 100% 之間的任意值。\n\n實體硬幣在實務上其實非常接近公平。包括 Persi Diaconis 在內的統計學家對真實擲硬幣的研究發現，現實擲法帶來的偏差非常小——大多數情況下都不到 1%。不過，硬幣在擲出前的初始朝向（正面朝上或反面朝上）會帶來輕微的同側偏差，約有 51% 的機率落在起始那一面。就實際用途而言，實體擲硬幣是 50/50 公平隨機事件的極佳近似。\n\n偏置硬幣在機率教學與統計理論中相當常見。已知機率 p 的偏置硬幣可以幫助學生和研究者觀察，當 p 偏離 0.5 時，結果分布會如何變化。一枚 p = 0.7（70% 正面）的硬幣在大量擲幣後會逐漸接近 70% 正面；但在擲幣次數較少時，實際比例可能明顯偏離，這說明樣本量對估計值向真實值穩定收斂的作用。\n\n大數法則保證，隨著擲幣次數無限增加，公平擲幣序列中正面的比例會收斂到 0.5。不過，這種收斂並不快：即使擲 1,000 次，正面比例通常也只會接近 50% 的幾個百分點之內，但很少恰好等於 50%。這個模擬器讓大數法則變得直觀——比較 10 次、100 次和 1,000 次的結果，你可以看到比例逐漸穩定。\n\n硬幣也用於隨機對照試驗中的分配：透過擲硬幣決定參與者進入治療組還是對照組，可以確保研究者和參與者都無法預測或影響分組結果。在體育比賽中，賽前的擲幣決定哪支隊伍先選場地或先開球，提供了一種可證明公平、且雙方都無法操縱的機制。在賽局理論中，混合策略——也就是玩家在兩個行動之間隨機選擇——通常也會用帶有特定偏置的擲硬幣來描述，讓對手無法偏向自己的策略。\n\n這個工具適用於機率課堂示範、快速決策、機率實驗，以及驗證你對隨機性的直覺是否與實際模擬資料一致。最多 500 次擲幣時會顯示序列，方便你直接檢視正反面模式，並自行判斷輸出看起來有多隨機。
擲硬幣範例
四種情境，分別展示單次擲幣、機率實驗、大樣本以及偏置硬幣測試。
| 設定 | 預期模式 | 使用情境 |
|---|---|---|
| 1 次擲幣，公平硬幣 | H 或 T（50/50） | 用於快速決定的單次擲幣——決定誰先開始、打破平局，或做二選一。 |
| 100 次擲幣，公平硬幣 | 約 50 個 H，50 個 T | 適合觀察大數法則發揮作用的樣本量；實際比例通常在 ±10% 以內。 |
| 1000 次擲幣，公平硬幣 | 約 500 個 H，500 個 T | 大樣本——統計顯著性已經可以檢測到。正面比例應在 50% 的 ±3% 之內。 |
| 500 次擲幣，偏置硬幣（70% 正面） | 約 350 個 H，150 個 T | 用於模擬不公平遊戲或製造缺陷測試。70% 的偏置在多次擲幣後會非常明顯。 |
如何使用擲硬幣模擬器
- 在「擲幣次數」欄位中輸入你想模擬的硬幣擲幣次數（1 到 10,000）。
- 選擇「公平硬幣（50/50）」進行標準無偏擲幣，或選擇「偏置硬幣」來設定自訂的正面機率。
- 如果你選擇了「偏置硬幣」，請以百分比輸入正面機率（例如輸入 70 表示正面機率為 70%）。
- 點擊「擲硬幣」。結果會顯示總擲幣次數、正面次數、反面次數以及正面百分比。
- 當擲幣次數為 500 次或更少時，會顯示 H 和 T 的序列，方便你直接查看隨機模式。
擲硬幣 FAQ
這個擲硬幣工具真的隨機嗎？
此模擬器使用 JavaScript 的 Math.random()，它基於由瀏覽器熵來源提供種子的偽隨機數產生器（PRNG）。它能通過標準隨機性統計測試，適合用於模擬、課堂示範和日常決策。若用於密碼學或安全關鍵場景，則需要硬體隨機數產生器，而不是軟體 PRNG。
為什麼公平硬幣不會總是恰好得到 50% 正面？
50% 是長期平均值，而不是任何固定次數擲幣都必須滿足的保證。對於 10 次擲幣，正面數量的標準差為 √(10 × 0.5 × 0.5) ≈ 1.58，因此得到 2 到 8 個正面都在均值兩個標準差以內。出現 4 個或 6 個正面，而不是恰好 5 個，是完全正常的。隨著擲幣次數達到數千次，比例會逐漸收斂到 50%。
偏置硬幣有什麼用途？
偏置硬幣常用於機率教學，幫助示範偏離公平會如何影響結果分布。它們也能模擬現實中兩個結果機率不相等的場景——例如圖釘尖端朝上的機率、製造缺陷的機率，或某支運動隊的勝率。設定偏置並觀察需要多少次擲幣才能看出這種偏斜，是非常好的學習練習。
需要多少次擲幣才能判斷一枚硬幣是否有偏？
所需擲幣次數取決於偏差大小。一枚偏差很大的硬幣（例如 90% 正面）在 20 到 30 次擲幣內就能看出來。輕微偏置的硬幣（例如 52% 正面）可能需要數百甚至數千次擲幣，才能在統計上與雜訊區分開來。所需樣本量大致按 1 / (偏差 − 0.5)² 進行縮放，這也是檢測小偏差需要大量觀測的原因。
模擬器會記住之前的結果嗎？
不會。每次點擊「擲硬幣」都會使用新的隨機數重新執行一次完整模擬，之前的結果會被替換。執行之間沒有任何記憶，就像每次實體擲硬幣都與之前的結果獨立一樣。如果你想保留某個結果，請在再次擲幣前先複製顯示的統計資訊。
我可以用它來做公平決定嗎？
可以——公平的擲硬幣是一種非常優秀且廣泛接受的二元決策方式。此模擬器的 50/50 公平硬幣在統計上等同於實體擲硬幣。對於重要決定，你可能更願意使用實體硬幣，以避免任何被操控的觀感；但對於日常打破平局、分組選擇或教學用途，數位擲硬幣工具是一個實用且透明的選擇。