信賴區間計算器 - 平均數與比例
根據樣本統計量或原始資料，計算母體平均數的信賴區間
輸入樣本平均數、標準差和樣本數，或提供原始資料，即可計算90%、95%或99%信賴水準下的信賴區間。
信賴區間計算器 - 平均數與比例
根據樣本統計量或原始資料，計算母體平均數的信賴區間
關於信賴區間計算器
信賴區間（CI）是一段可能包含真實母體參數——最常見的是母體平均數——的數值範圍，並以指定的信賴水準表示。信賴區間是推論統計中最常用的工具之一，能幫助研究者量化估計的不確定性，並清楚傳達精確度。
當母體標準差未知且樣本數足夠大時，母體平均數信賴區間的公式為：CI = x̄ ± z* × (s / √n)，其中 x̄ 為樣本平均數，s 為樣本標準差，n 為樣本數，z* 為對應所選信賴水準的標準常態分配臨界值。95% 信賴區間的 z* = 1.96；90% 時約為 1.645；99% 時約為 2.576。
s / √n 稱為平均數的標準誤（SE），表示樣本平均數在重複抽樣中預期會有多大的波動。樣本數越大，SE 越小，區間也就越窄、越精確。誤差範圍（MOE）等於 z* × SE；區間下限為 x̄ − MOE，上限為 x̄ + MOE。
正確解讀信賴區間非常重要。95% 信賴區間並不表示真實平均數有 95% 的機率落在這個特定區間內。更準確地說，如果重複進行許多次相同的抽樣並每次都計算一個信賴區間，那麼大約 95% 的這些區間會包含真實平均數。信賴度屬於這個程序，而不是某一個單獨區間。
信賴區間廣泛用於臨床試驗報告治療效果、民調報告誤差範圍、品質控制監測製程平均數，以及任何需要從樣本進行估計的科學研究中。本計算器使用 z 分配（常態近似），對大樣本（n ≥ 30）或母體分配近似常態的情況較為準確。對於來自未知分配的小樣本，更適合使用基於 t 分配的區間。
範例
下表顯示典型統計情境下的信賴區間計算。
| 輸入 | 95% 信賴區間 | 情境 |
|---|---|---|
| x̄=75, s=5, n=100, 95% CI | (74.02, 75.98) | 學生考試成績——大樣本 |
| x̄=250, s=10, n=50, 99% CI | (246.36, 253.64) | 產品重量（公克）——高信賴度 |
| data: 22,25,21,24,23,26,20, 90% CI | (21.66, 24.34) | 每日溫度——小型原始資料集 |
| x̄=35, s=8, n=200, 95% CI | (33.89, 36.11) | 平均配送時間（分鐘） |
如何使用信賴區間計算器
- 如果你已經有樣本平均數、標準差和樣本數，請選擇「彙總統計量」；如果要輸入單筆觀測值，請選擇「原始資料」。
- 選擇信賴水準：90%（z=1.645）、95%（z=1.96）或99%（z=2.576）。較高的信賴度會得到較寬的區間。
- 對於彙總統計量，請輸入樣本平均數（x̄）、樣本標準差（s ≥ 0）和樣本數（n ≥ 2）。對於原始資料，請輸入以逗號或空格分隔的數字。
- 點選「計算」即可查看信賴區間上下限、誤差範圍與標準誤。
- 解讀結果：區間（下限，上限）是在重複抽樣條件下，以所選信賴水準捕捉真實母體平均數的範圍。
常見問題
95% 信賴區間是什麼意思？
95% 信賴區間的意思是：如果你重複同樣的抽樣程序很多次，並且每次都計算一個信賴區間，那麼大約 95% 的這些區間會包含真實的母體平均數。它不表示真實平均數有 95% 的機率位於這個特定區間內——一旦計算完成，這個區間要麼包含真實平均數，要麼不包含。
什麼是誤差範圍？
誤差範圍（MOE）是信賴區間寬度的一半：MOE = z* × (s / √n)。它量化了在所選信賴水準下，樣本平均數與真實母體平均數之間可預期的最大差異。要減小 MOE，可以增加樣本數、降低標準差（減少資料波動），或接受較低的信賴水準。
我應該使用 z 分配還是 t 分配？
當樣本數較大（n ≥ 30）或已知母體標準差時，應使用 z 分配（本計算器採用這種方法）。當 n < 30 且母體標準差未知時，應使用 t 分配，因為 t 分配尾端較厚，能考慮從小樣本估計標準差帶來的額外不確定性。
樣本數會如何影響信賴區間？
增加樣本數 n 會降低標準誤（s / √n），因此會縮小信賴區間。例如，樣本數翻倍會使誤差範圍按 √2 ≈ 1.41 的比例減小。這就是為什麼樣本數很大的調查（如 n=1000）誤差範圍很小（95% 下約 3%），而試點研究（如 n=20）可能會有很寬的區間。
如果我的資料不是常態分配怎麼辦？
中心極限定理保證了隨著 n 增大，樣本平均數的分配會趨近於常態分配，而不管母體分配如何。對於 n ≥ 30，基於 z 的信賴區間通常是可靠的。對於較小樣本且分配明顯偏斜或厚尾的情況，可以考慮自助法信賴區間或基於 t 的區間，這兩者都更穩健。
我可以計算比例的信賴區間嗎？
可以，但公式不同。對於 n 次試驗中的樣本比例 p̂，Wald 信賴區間為 p̂ ± z* × √(p̂(1−p̂)/n)。本計算器是為平均數設計的。若要估計支持某位候選人的選民比例等比例問題，請使用專門的比例信賴區間工具。對於小樣本或接近 0 或 1 的比例，通常更推薦 Wilson 分數區間，而不是 Wald 公式。