指數分布計算器

指數分布是一種連續型機率分布，用來描述卜瓦松過程中事件之間的等待時間——也就是事件以固定平均速率持續且彼此獨立發生的過程。它由單一參數 λ（lambda）刻畫，稱為速率參數，代表單位時間內的平均事件數。事件間的平均等待時間為 1/λ。 機率密度函數（PDF）為 f(x) = λe^(−λx)，適用於 x ≥ 0。累積分布函數（CDF）為 F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx)，表示下一次事件發生時間小於或等於 x 的機率。存活函數 P(X > x) = e^(−λx) 表示到時間 x 為止事件尚未發生的機率。 指數分布有一個重要特性稱為無記憶性：P(X > s + t | X > s) = P(X > t)。這表示，在已經等待了 s 個時間單位且尚未發生事件的前提下，再等待 t 個單位的機率，和剛開始等待時是一樣的。在連續分布中，只有指數分布具有這個特性，因此特別適合用來建模沒有老化或劣化效應的系統。 指數分布的統計矩都可用 λ 表示：平均數 = 1/λ，變異數 = 1/λ²，標準差 = 1/λ，中位數 = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ。請注意平均數大於中位數，這反映了此分布右偏的形狀。 它在現實中的應用相當廣泛。在可靠度工程中，指數分布可用來描述不會磨損的電子元件壽命（例如某些電晶體）。在排隊理論中，它描述到達間隔與服務時間。在核物理中，放射性衰變遵循指數分布。在電信中，它用來建模連續封包到達之間的時間。在金融中，它在簡化模型裡近似描述交易或信用事件之間的時間。