樣本比例抽樣分布計算器

樣本比例的抽樣分布是一種理論分布，用來描述：從母體真實比例為 p 的族群中，抽取所有可能固定大小 n 的隨機樣本時，樣本比例 (p̂) 可能出現的取值範圍。它是推論統計中最基礎的概念之一，也是問卷調查方法、假設檢定與信賴區間建立的重要基礎。 抽樣分布的平均數等於母體比例 p。這反映了不偏性：平均而言，樣本比例等於它所估計的參數。抽樣分布的標準差稱為比例的標準誤差，計算公式為 σ(p̂) = √[p(1–p)/n]。當樣本數 n 增加時，標準誤差會下降，代表更大的樣本會讓樣本比例更緊密地聚集在真實值 p 附近。 根據中央極限定理，只要滿足兩個條件，抽樣分布就可以近似視為常態分布：np ≥ 10 且 n(1–p) ≥ 10。這兩個條件可確保樣本中的「成功」與「失敗」數量都夠大，使常態近似更可靠。當其中一個或兩個條件不成立時——通常出現在樣本很小或比例接近 0 或 1 的極端情況——應改用二項分布。 當輸入一個具體觀測到的樣本比例 p̂ 時，計算器會計算 Z 分數，用來衡量 p̂ 距離平均數有多少個標準誤差：Z = (p̂ – p) / σ(p̂)。絕對值較大的 Z 分數表示，在給定母體比例的假設下，觀測到的樣本比例不太可能只是隨機產生的，這也是假設檢定的基礎。 累積機率 P(p̂ < x) 表示：在母體指定、樣本數為 n 的隨機樣本中，觀測到小於或等於 x 的樣本比例的機率。互補機率 P(p̂ > x) 則表示觀測到大於 x 的比例的機率。結合這兩個值，你可以判斷自己的觀測樣本比例相對於理論分布有多極端。 這個概念廣泛應用於民調（估計候選人的真實支持率是否高於某個門檻）、品質管制（判斷某批次瑕疵率是否超過可接受標準）以及醫學研究（評估患者對治療的反應比例是否不同於歷史基準）。