樣本比例抽樣分布計算器
計算任意樣本比例抽樣分布的平均數、標準誤、常態性條件、Z 分數與累積機率。
輸入母體比例 (p) 與樣本數 (n)。也可輸入特定樣本比例 (p̂)，以取得對應的 Z 分數與累積機率。
樣本比例抽樣分布計算器
計算任意樣本比例抽樣分布的平均數、標準誤、常態性條件、Z 分數與累積機率。
關於樣本比例的抽樣分布
樣本比例的抽樣分布是一種理論分布，用來描述從真實比例為 p 的母體中抽取所有可能、樣本數固定為 n 的隨機樣本時，樣本比例 (p̂) 可能出現的值。它是推論統計的核心概念，支撐調查方法、假設檢定與信賴區間。
抽樣分布的平均數等於母體比例 p，這是不偏性的性質。其標準差稱為比例的標準誤，公式為 σ(p̂) = √[p(1–p)/n]。樣本數 n 越大，標準誤越小，樣本比例越集中在真實值 p 附近。
依中央極限定理，當 np ≥ 10 且 n(1–p) ≥ 10 時，抽樣分布可近似為常態分布。這確保成功次數與失敗次數都足夠大；若條件不成立，尤其是小樣本或接近 0 或 1 的極端比例，應使用二項分布。
若提供觀測樣本比例 p̂，計算器會計算 Z 分數：Z = (p̂ – p) / σ(p̂)，表示 p̂ 距平均數有多少個標準誤。絕對值較大的 Z 分數表示在假定母體比例下，此觀測值由隨機機率造成的可能性較低，是假設檢定的基礎。
累積機率 P(p̂ < x) 表示樣本比例小於或等於 x 的機率；互補機率 P(p̂ > x) 表示大於 x 的機率。兩者可用來判斷觀測樣本比例相對於理論分布有多極端。
此概念應用於民意調查、品質管制與醫學研究，例如估計支持度超過門檻的機率、判斷缺陷率是否超標，或評估治療反應比例是否不同於歷史基準。
抽樣分布範例
三個情境示範平均數、標準誤、常態性檢查與 Z 分數計算。
| 參數 | 關鍵結果 | 說明 |
|---|---|---|
| p=0.60, n=100, p̂=0.65 | μ=0.60, σ=0.049, Z=1.02, P(<0.65)≈0.846 | 符合常態性條件（np=60，n(1-p)=40）。觀測到的 65% 約比母體比例高 1 個標準誤。 |
| p=0.50, n=400, p̂=0.53 | μ=0.50, σ=0.025, Z=1.20, P(<0.53)≈0.885 | 大樣本提升精確度。樣本數增加為四倍時，標準誤減半，使偏離 0.50 的情況更容易偵測。 |
| p=0.05, n=50 | μ=0.05, σ=0.031, 常態性未通過 | np=2.5 < 10，因此常態性條件不成立。對於小比例與小樣本，應改用精確二項分布。 |
如何使用抽樣分布計算器
- 將母體比例 (p) 輸入為 0 到 1 之間（不含端點）的小數。這是母體中已知或假定的真實比例。
- 將樣本數 (n) 輸入為正整數。它決定標準誤，以及是否符合常態性條件。
- 可選填樣本比例 (p̂)，以計算 Z 分數與累積機率 P(p̂ < x) 和 P(p̂ > x)。
- 點選「計算」查看平均數、標準誤、常態性檢查結果，以及（若提供 p̂）Z 分數與機率輸出。
- 點選「重設」清除所有欄位並開始新的計算。
比例抽樣分布常見問題
樣本比例的標準誤是什麼？
標準誤是抽樣分布的標準差，用來衡量樣本比例在不同樣本之間的變動程度。它等於 √[p(1–p)/n]。標準誤越小，樣本比例越集中在真實母體比例 p 附近。
抽樣分布何時近似常態？
當 np ≥ 10 且 n(1–p) ≥ 10 同時成立時，常態近似有效。如果任一條件不成立，分布會偏斜，基於常態近似的機率計算會不準確。此時應使用精確二項分布。
增加樣本數會如何影響分布？
增加 n 會使標準誤按 1/√n 的比例下降，讓抽樣分布變窄。平均數仍等於 p。較窄的分布表示樣本比例更可能接近真實母體比例，使估計與推論更精確。
樣本比例的 Z 分數為 2 代表什麼？
Z 分數為 2 表示觀測樣本比例 p̂ 比母體比例 p 高 2 個標準誤。在常態近似下，純因隨機機率觀察到這麼大或更大的 Z 分數約為 2.3%（單尾）。這是反對假定母體比例的強證據，但不是結論性證據。
此計算器能處理接近 0 或 1 的比例嗎？
計算器仍會計算結果，但當 np < 10 或 n(1–p) < 10 時會標示常態性條件未通過。對於極端比例（例如 p = 0.02 或 p = 0.98），抽樣分布會偏斜，應使用二項分布進行準確的機率計算。
比例的標準差與標準誤有何不同？
二元變數的母體標準差衡量個別觀測值內的變異：σ = √[p(1–p)]。比例的標準誤衡量重複抽樣中樣本比例的變異：σ(p̂) = √[p(1–p)/n]。標準誤小了 1/√n 倍，反映多個觀測取平均的效果。