Wilcoxon符號等級檢定計算器（配對樣本）

Wilcoxon符號等級檢定是一種非參數統計假設檢定，用來比較兩個相關樣本或同一組對象的重複量測。它是配對 t 檢定的非參數版本，適用於無法合理假設各對差值服從常態分布的情況。 此檢定由 Frank Wilcoxon 於 1945 年提出，在臨床試驗與行為科學中特別有用，因為同一受試者常會在介入前後被量測。這個檢定不是直接使用原始數值，而是先將配對觀測值的絕對差排序，再分別加總正差與負差對應的秩。 其程序如下。對每一對資料，先計算差值 d =（後 − 前）。差值為 0 的配對會被排除。將絕對差由小到大排序，若有同分則取平均秩。正差的秩和記為 W⁺，負差的秩和記為 W⁻。檢定統計量 W 取 W⁺ 與 W⁻ 中較小者。 對於較大的樣本（通常 n ≥ 10），W 的分布可用常態分布近似。Z 分數會根據虛無假設下 W 的平均數與標準差計算。其平均數為 n(n+1)/4，標準差為 √[n(n+1)(2n+1)/24]，其中 n 為非零差值的個數。 虛無假設表示配對觀測值的中位數差為 0——處置沒有影響。對立假設可以是雙尾（中位數差不為 0），或單尾（差值為正或為負）。這個計算器回報雙尾 p 值，這是最保守的選擇。 當 p 值低於 0.05 時，通常可視為配對量測之間存在顯著差異。在血壓研究中，這可能表示某種藥物顯著降低了收縮壓；在心理學研究中，則可能代表某個療程顯著降低了焦慮分數。 這個檢定要求觀測值必須成對對應——樣本1中的每個觀測值都必須對應樣本2中的一個特定觀測值（同一受試者在不同時間，或經配對的受試者）。各配對之間必須彼此獨立，且差值應來自對稱分布，但不一定是常態分布。 與配對 t 檢定相比，Wilcoxon符號等級檢定對離群值與非常態分布更具穩健性，但在常態性假設成立時，檢定力會稍微低一些。對小樣本、序位結果或存在極端值的資料，它通常是更推薦的選擇。