文氏圖計算器 - 聯集、交集與差集

文氏圖是一種用來視覺化呈現兩個或多個集合之間關係的圖示。圓形（或橢圓）會以重疊方式繪製，使重疊區域對應到同時屬於多個集合的元素。文氏圖由英國邏輯學家約翰·文恩於1880年提出，此後成為數學、邏輯、統計學、電腦科學、語言學以及日常推理中最常用的工具之一。 對於2集合文氏圖，有三個重要區域：僅屬於 A 的元素、僅屬於 B 的元素，以及同時屬於兩者的交集 A ∩ B。聯集 A ∪ B 是任一集合中不同元素的總數，計算方式為 |A| + |B| − |A ∩ B|。減去交集可避免將同時出現在兩個圓中的元素重複計數。這個公式是容斥原理的基礎，而容斥原理可推廣到任意數量的集合。 對於3集合文氏圖，會出現七個不同區域：僅屬於 A 的元素、僅屬於 B 的元素、僅屬於 C 的元素、屬於 A ∩ B 但不屬於 C 的元素、屬於 A ∩ C 但不屬於 B 的元素、屬於 B ∩ C 但不屬於 A 的元素，以及中心的三重交集 A ∩ B ∩ C。3集合聯集公式為 |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。三重交集需要加回，是因為它先被加了三次（每個集合一次），之後又在兩兩交集中被減了三次，因此必須剛好恢復一次。 文氏圖的實務應用隨處可見。問卷分析師用它拆解受眾：有多少受訪者只使用平台 A、只使用平台 B，或兩者都使用？資料庫工程師使用的集合操作——UNION、INTERSECT、EXCEPT——可直接對應到文氏圖區域。醫學研究人員用它分析有多少患者出現症狀 A、症狀 B 或兩者都有。教育工作者用它比較與對照概念。市場研究人員用它理解品牌重疊。在機率論中，文氏圖能讓加法公式——P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)——變得直觀且易懂。 此計算器會在計算前驗證輸入：檢查任何交集是否超過其組成集合的大小、三重交集是否超過任一兩兩交集，以及所有數值是否皆為非負數。若輸入一致，圖中的每個區域都會被計算並以清楚表格顯示。