Weibull分布計算器 - PDF、CDF 與可靠度

Weibull 分布是一種連續機率分布，以瑞典工程師與數學家 Waloddi Weibull 命名。他於 1951 年將其用於建模材料強度與疲勞。如今，它已成為可靠度工程、生存分析、風速建模與極值理論中最重要的分布之一，因為其形狀參數 k 能在同一個彈性族中描述遞增、恆定或遞減的失效率——這三種截然不同的物理行為。 此分布由兩個參數定義。形狀參數 k（有時寫作 β）決定失效率是上升、下降還是維持不變。當 k > 1 時，失效率會隨時間上升——這可用來描述機械元件常見的磨耗失效，零件會隨使用而劣化。當 k = 1 時，Weibull 分布會恰好退化為失效率恆定的指數分布，用於建模電子元件這類以穩定背景速率隨機失效的情況。當 k < 1 時，失效率會隨時間下降——這可用來描述嬰兒死亡期失效，缺陷產品會在早期失效，而存活下來的產品會更可靠。尺度參數 λ（有時寫作 η）是特徵壽命：在 x = λ 時，不論 k 為何，CDF 都等於 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%。 機率密度函數（PDF）f(x) 表示在恰好時間 x 發生失效的相對可能性。累積分布函數（CDF）F(x) 表示元件在時間 x 之前已失效的機率——這也稱為不可靠度。可靠度函數 R(x) = 1 − F(x) 表示超過時間 x 仍能存活的機率，這是保固與維護規劃的主要指標。危險率 h(x) = f(x) / R(x) 是在存活到該時刻的前提下，時間 x 的瞬時失效率；在工程中也稱為死亡力或危險函數。 Weibull 分布的平均數為 λ · Γ(1 + 1/k)，其中 Γ 是 gamma 函數。中位數為 λ · (ln 2)^(1/k)。眾數（最可能的失效時間）在 k > 1 時為 λ · ((k−1)/k)^(1/k)，在 k ≤ 1 時為 0。變異數為 λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²]。 Weibull 分析廣泛應用於車隊維護排程、飛機元件認證、風能資源評估、地震重現期估算以及癌症存活研究。本計算器使用 Lanczos 近似來計算 gamma 函數，可在廣泛的參數範圍內維持高數值精度，一步完成所有標準 Weibull 計算。