韋布爾分布計算器 - PDF、CDF 與可靠度

韋布爾分布是一種連續機率分布，以瑞典工程師與數學家 Waloddi Weibull 命名。他在 1951 年用它來建模材料強度與疲勞。如今，它已是可靠度工程、存活分析、風速建模與極值理論中最重要的分布之一，因為它的形狀參數 k 能在單一而靈活的族中描述遞增、恆定或遞減的失效率——三種截然不同的物理行為。 此分布由兩個參數定義。形狀參數 k（有時寫作 β）決定失效率是隨時間增加、減少或維持不變。當 k > 1 時，失效率會隨時間增加——這可用來描述機械元件常見的磨耗失效，零件會隨使用而劣化。當 k = 1 時，韋布爾分布會精確化為失效率恆定的指數分布，適合描述電子元件這類以穩定背景速率隨機失效的情況。當 k < 1 時，失效率會隨時間降低——這可用來描述嬰兒死亡率失效，缺陷品會在早期失效，而存活下來的產品會更可靠。尺度參數 λ（有時寫作 η）是特徵壽命：在 x = λ 時，無論 k 為何，CDF 都等於 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%。 機率密度函數（PDF）f(x) 表示在恰好時間 x 發生失效的相對可能性。累積分布函數（CDF）F(x) 表示到時間 x 為止已失效的機率，這也稱為失效機率。可靠度函數 R(x) = 1 − F(x) 表示超過時間 x 仍能存活的機率，這是保固與維護規劃的主要指標。失效率 h(x) = f(x) / R(x) 是在已存活到該時刻的條件下，時間 x 的瞬時失效率；在工程上也稱為死亡力或風險函數。 韋布爾分布的平均數為 λ · Γ(1 + 1/k)，其中 Γ 是伽瑪函數。中位數為 λ · (ln 2)^(1/k)。當 k > 1 時，眾數（最可能的失效時間）為 λ · ((k−1)/k)^(1/k)；當 k ≤ 1 時為零。變異數為 λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²]。 韋布爾分析廣泛應用於車隊維護排程、飛機元件認證、風能資源評估、地震重現期估計與癌症存活研究。本計算器使用 Lanczos 近似計算伽瑪函數，可在廣泛的參數範圍內維持高數值精度，並一次完成所有標準韋布爾計算。