Rayleigh 分布計算器 - PDF、CDF 與統計量

Rayleigh 分布是一種用於非負隨機變數的連續機率分布，最早由 Lord Rayleigh 在研究聲波振幅時推導出來。它完全由一個參數 σ（尺度參數）定義；σ 既代表分布的眾數——最可能的取值——也決定整個分布的離散程度。 機率密度函數（PDF）為 f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²))，適用於 x ≥ 0。它的曲線從 x = 0 的 0 開始上升，在 x = σ 時達到峰值，之後逐漸趨近於 0。累積分布函數（CDF）為 F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²))，表示隨機觀測值落在 x 及以下的機率。互補 CDF（CCDF = 1 − CDF）則表示觀測值嚴格大於 x 的機率——這通常也稱為存活函數，在可靠性與通訊工程中非常重要。 Rayleigh 分布是雙參數 Weibull 分布在形狀參數 k = 2 時的特例。它也與常態分布有深刻關聯：如果兩個彼此獨立的隨機變數 X 和 Y 都服從平均數為 0、變異數為 σ² 的常態分布，那麼向量長度 R = √(X² + Y²) 會服從尺度參數為 σ 的 Rayleigh 分布。這個幾何解釋使它成為二維隨機向量幅值的自然模型。 在無線通訊中，Rayleigh 衰落模型描述了在存在許多散射體且沒有主導視距路徑的環境裡，無線訊號的傳播方式。當發射訊號在到達接收端之前經過建築物、車輛與地形的反射時，接收訊號的包絡通常服從 Rayleigh 分布。工程師用這個模型來計算鏈路預算、判定中斷機率並設計錯誤更正編碼。σ 參數通常由訊號量測估計，並直接用於系統層級模擬。 在海洋學與氣象學中，這種分布可用來建模某一地點的顯著波高與峰值風速。透過將 σ 擬合到歷史資料，工程師與科學家可以估計極端事件的機率——例如，在 50 年一遇風暴期間，波高超過安全門檻的機率。類似應用還出現在離岸平台設計、海岸洪水建模與風力渦輪機選址中。 在可靠性工程中，Rayleigh 分布可作為在多種獨立應力因素累積損傷下元件壽命的分布。與指數分布不同，Rayleigh 的風險率會隨時間線性增加（h(t) = t/σ²），這意味著較舊的元件失效率更高——這更符合金屬疲勞與腐蝕等磨耗機制。 關鍵統計量為：平均數 = σ√(π/2) ≈ 1.2533σ；中位數 = σ√(2 ln 2) ≈ 1.1774σ；眾數 = σ；變異數 = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0.4292σ²。平均數始終大於眾數，反映出分布右偏。變異數隨 σ 呈二次成長，因此 σ 加倍會使離散程度擴大四倍。