期望值計算機
計算離散機率分布的數學期望。
輸入結果值及其機率，即可計算 E[X]、變異數與標準差。
期望值計算機
計算離散機率分布的數學期望。
結果值機率
關於期望值計算機
期望值，也稱為數學期望或機率分布的平均數，是機率論與統計學中最重要的概念之一。它代表如果某個隨機實驗在相同條件下重複很多次，長期下來的平均結果。對離散隨機變數 X 而言，若結果為 x₁、x₂、…、xₙ，對應機率為 p₁、p₂、…、pₙ，則期望值定義為 E[X] = Σ xᵢ pᵢ。
期望值不一定是隨機變數真正能取到的值——它是所有可能結果的加權平均。例如，擲一顆公平的六面骰的期望值是 3.5，雖然骰子上並沒有 3.5 這個點數。這種長期平均的解釋由大數法則所形式化：隨著試驗次數增加，樣本平均會收斂到期望值。
本計算機也會計算變異數 Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − (E[X])²，用來衡量分布相對於平均數的離散程度。標準差 σ = √Var(X) 是變異數的平方根，並與 X 具有相同單位，因此更容易實際理解。
期望值在科學、經濟、金融與工程等領域都有無數應用。在決策理論中，它是期望效用極大化的基礎——理性的決策者會選擇期望報酬最高的行動。在保險業中，精算師使用期望值來訂價保單：保費必須涵蓋預期理賠以及營運成本與利潤空間。在遊戲設計中，期望值用來判斷遊戲是否公平。在投資組合理論中，投資組合的預期報酬就是各資產預期報酬的加權平均。
使用本計算機時，請確保所有機率都為非負數，且總和在很小的誤差範圍內嚴格等於 1。如果機率總和不等於 1，分布就沒有被正確定義，期望值計算也就沒有意義。常見錯誤包括把百分比當作小數機率輸入（例如輸入 25 而不是 0.25），或漏掉所有可能結果。
範例
這些範例展示期望值如何應用於不同的真實情境。
| 結果與機率 | E[X] | 備註 |
|---|---|---|
| 骰子：取值 1–6，每個結果的機率皆為 1/6 ≈ 0.1667 | E[X] = 3.5 | 公平六面骰；經典教科書範例 |
| 投資：+$1000（30%），+$500（40%），−$200（20%），−$500（10%） | E[X] = $410 | 雖有下行風險，但期望報酬仍為正 |
| 保險：$0 理賠（95%），$5,000（4%），$25,000（1%） | E[X] = $450 | 每份保單的年度平均理賠；用於保費定價 |
| 品質管制：$0 成本（85%），$50（10%），$150（4%），$500（1%） | E[X] = $15 | 製造業中每單位的預期瑕疵成本 |
如何使用此計算機
- 在「結果值」欄位輸入每個可能結果——它可以是任何實數（正數、負數或零），表示報酬或結果。
- 在「機率」欄位輸入對應機率——必須是 0 到 1 之間的小數（例如，25% 請輸入 0.25）。
- 使用「新增結果」按鈕繼續新增結果列，直到列出所有可能結果。
- 在點擊「計算期望值」之前，請確認所有機率加總為 1——如果不符，計算機會顯示錯誤。
- 點擊「計算期望值」即可查看 E[X]、變異數、標準差與機率總和。
常見問題
什麼是期望值？
期望值 E[X] 是隨機變數所有可能結果的機率加權平均。它代表如果實驗重複很多次，你會觀察到的長期平均值。形式上，E[X] = Σ xᵢ × pᵢ，其中 xᵢ 是每個可能結果，pᵢ 是其機率。
機率一定要精確加總為 1 嗎？
是的，對於有效的機率分布，機率加總必須精確為 1（或在四捨五入容差內非常接近 1）。如果不是，分布就沒有被正確指定，期望值也沒有意義。此計算機會檢查總和，如果與 1 的偏差超過 1%，就會顯示錯誤。
期望值和平均數有什麼差別？
這兩個術語關係密切，但使用情境不同。「平均數」（或樣本平均）指的是一組已觀測資料的算術平均值。「期望值」指的是機率分布的理論平均，也就是你在長期中預期會觀察到的平均值。隨著樣本數增加，樣本平均會收斂到期望值（大數法則）。
期望值可以是負的嗎？
可以，期望值可以是任何實數，包括負數。負期望值表示該過程平均而言是不利的——例如，大多數賭場遊戲對玩家的期望值都是負的。正期望值表示該過程平均而言是有利的，這也是為什麼所有合法的保險和投資產品都會為提供方設定正期望值。
變異數能告訴我分布的什麼資訊？
變異數 Var(X) = E[(X − E[X])²] 衡量的是與平均數之間的平均平方偏差。高變異數表示結果分布很分散——分布有厚尾或極端值。低變異數表示結果更緊密地聚集在平均數附近。標準差 σ = √Var(X) 常常更受歡迎，因為它與 X 具有相同單位，便於直觀理解。
期望值如何用於決策？
在決策理論中，期望值準則認為理性主體應選擇期望收益最高的行動。這一原則是保險定價、投資分析、賽局理論與臨床試驗設計的基礎。然而，期望值本身並不能體現風險趨避——即使後者的期望值更高，一個人也可能更喜歡確定得到 50 美元，而不是有 50% 的機率得到 120 美元。這就是為什麼期望效用理論會擴展基本框架。