均勻分布計算器 - PDF、CDF 與平均數
計算任意連續均勻分布的機率密度函數、累積分布函數、平均數、變異數與區間機率。
輸入最小值 a 與最大值 b。也可以輸入 CDF 的點 x，或輸入區間機率的下界 x1 與上界 x2。
均勻分布計算器 - PDF、CDF 與平均數
計算任意連續均勻分布的機率密度函數、累積分布函數、平均數、變異數與區間機率。
選填 — 輸入 x 以計算 P(X ≤ x)。
選填 — 同時輸入 x1 與 x2 以計算 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
關於均勻分布
連續均勻分布有時也稱為矩形分布，用來描述在區間 [a, b] 內每個取值出現機率都相同的情況。它是最簡單的連續機率分布，也是理解「範圍內所有結果都同樣可能」這個概念的經典模型，例如公車在預定時間窗內到站的精確時刻，或隨機時刻停止的轉盤最後落點。
均勻分布的機率密度函數（PDF）在整個區間內保持固定：當 a ≤ x ≤ b 時，f(x) = 1/(b − a)，其餘位置為 0。由於 PDF 下方的總面積必須等於 1，而圖形是平頂矩形，因此矩形高度就是寬度的倒數。這讓 PDF 很容易理解：只要長度相同，區間在 [a, b] 中的位置如何都不影響它的機率。
累積分布函數（CDF）表示隨機觀測值落在某個特定 x 或更小值的機率。對於均勻分布，在 a ≤ x ≤ b 時，F(x) = (x − a)/(b − a)。它從 x = a 時的 0 線性增長到 x = b 時的 1，反映出隨著 x 在區間內移動，機率被持續累積。若要計算值落在區間 [x1, x2] 內的機率，只需相減：P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a)，也就是子區間寬度除以總寬度。
均勻分布的平均數（期望值）就是區間的中點：E[X] = (a + b)/2。直觀上這很合理——如果所有值同樣可能，平均值自然就在正中間。變異數衡量的是與平均數的平均平方偏差，等於 (b − a)² / 12。區間越寬，變異數越大，表示結果位置的不確定性越高。
均勻分布常被用作模擬、蒙地卡羅方法與隨機數產生的起點或基準。偽隨機數產生器通常先產生區間 [0, 1] 上的均勻隨機變數，再透過逆 CDF 方法轉換成其他分布。在貝葉斯統計中，均勻先驗表示在已知範圍內對參數完全無知的狀態。在可靠性工程與排程中，它可用來描述只知道範圍、卻不知道確切時刻的到達或失效時間。
理解均勻分布也有助於學習更複雜的連續分布。它的簡單性非常適合在引入常態分布、指數分布或 Beta 分布之前，先學習 PDF、CDF、期望值與變異數這些基礎概念。
均勻分布範例
使用均勻分布公式對常見情境進行的計算示例。
| 參數 | 關鍵指標 | 應用情境 |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | 標準均勻分布 U(0,1)，是所有偽隨機數產生器與逆 CDF 轉換方法的基礎。 |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | 公車在 2 到 10 分鐘之間均勻到達。平均等待時間為 6 分鐘，變異數為 (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333。 |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | 一小時中的隨機一分鐘。落在第 20 分鐘到第 40 分鐘之間的機率為 (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333。 |
如何使用均勻分布計算器
- 在第一個欄位輸入最小值 a，在第二個欄位輸入最大值 b。確保 b 嚴格大於 a。
- 點擊「計算」，即可立即查看該分布的 PDF、平均數、變異數與標準差。
- 如需計算 CDF，可選擇在 x 欄位輸入一個值，以計算 P(X ≤ x)，也就是隨機變數不超過 x 的機率。
- 如需計算區間機率，可選擇同時輸入 x1 與 x2，以計算 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
- 點擊「重設」清空所有欄位，開始新的計算。
均勻分布常見問題
均勻分布有什麼用途？
均勻分布用來描述某個範圍內每個結果都同樣可能出現的情況。常見用途包括隨機數產生、模擬研究、貝葉斯中的無資訊先驗，以及只知道取值範圍時的排程或到達時間建模。
如何計算區間機率？
對於區間 [a, b] 上的均勻分布，值落在 [x1, x2] 內的機率就是 (x2 − x1) / (b − a)。這與子區間寬度相對於總範圍的比例成正比，也正體現了平坦的 PDF。
均勻分布中的 PDF 和 CDF 有什麼差別？
PDF 表示單點處的密度，在 [a, b] 內任一點都等於 1/(b−a)。CDF 表示累計到點 x 為止的機率，等於 (x−a)/(b−a)。對於連續分布，機率只對區間有意義，單一點的機率沒有實際意義。
為什麼變異數是 (b−a)²/12？
變異數是透過在 [a, b] 上積分 (x − 平均數)² × f(x) 得到的，其中 f(x) = 1/(b−a)。計算可化簡為 (b−a)²/12。區間越寬，變異數會按寬度平方成比例增大，因為數值離平均數更遠。
均勻分布和結果同樣可能一樣嗎？
對於連續隨機變數來說，是的。均勻分布是公平骰子或隨機抽取的連續對應形式——任意相同長度的子區間具有相同機率。不過在連續情形下，單一點的機率為零，只有區間機率才不為零。
標準均勻分布 U(0,1) 與其他分布有什麼關係？
標準均勻分布 U(0,1) 是生成任意連續分布的基礎。若 U 在 [0,1] 上服從均勻分布，F 是目標分布的 CDF，那麼 F⁻¹(U) 就服從該目標分布。逆變換法正是大多數隨機抽樣演算法的基礎。