經驗法則計算器 - 常態分布 68-95-99.7
將經驗法則（68-95-99.7 法則）套用到任意常態分布：輸入平均值與標準差，即可取得 68%、95% 與 99.7% 資料的精確區間。
輸入常態分布的平均值 (μ) 與標準差 (σ)，計算三個經驗法則區間。
經驗法則計算器 - 常態分布 68-95-99.7
將經驗法則（68-95-99.7 法則）套用到任意常態分布：輸入平均值與標準差，即可取得 68%、95% 與 99.7% 資料的精確區間。
關於經驗法則計算器
經驗法則，也稱為三西格瑪法則或 68-95-99.7 法則，是統計學中描述資料在常態（鐘形）分布中如何分布的簡明規則。它指出，約 68% 的觀測值落在平均值的一個標準差內，約 95% 落在兩個標準差內，約 99.7% 落在三個標準差內。這些是應用統計中最重要的一組數字。
更精確地說，這些百分比為 68.27%、95.45% 與 99.73%，來自標準常態分布的累積分布函數。互補機率也很重要：約 32% 的資料落在一西格瑪區間之外，約 5% 落在二西格瑪區間之外，只有 0.27%（約 370 個中 1 個）落在三西格瑪區間之外。最後這個數字是品質管制與六西格瑪方法中廣泛使用的「三西格瑪限」基礎。
經驗法則只適用於資料服從或近似服從常態分布的情況。許多自然現象近似常態：成人身高、IQ 分數、測量誤差、血壓讀數，以及許多經濟與金融指標都近似常態分布。在這些情況下，經驗法則不需複雜計算，只用基本算術就能給出快速、實用的答案。
要套用此法則，只需要兩個參數：平均值 (μ)，用來定位分布中心；標準差 (σ)，用來衡量分散程度。一西格瑪區間為 (μ − σ, μ + σ)，二西格瑪區間為 (μ − 2σ, μ + 2σ)，三西格瑪區間為 (μ − 3σ, μ + 3σ)。本計算器會立即計算全部三個區間。
實際應用非常多。在製造與品質管制中，若產出落在三西格瑪限內（99.73% 的時間），流程即被視為受控。在 IQ 測驗中，若 μ = 100 且 σ = 15，約 68% 的人得分介於 85 到 115，約 95% 介於 70 到 130，約 99.7% 介於 55 到 145。在金融中，經驗法則用於在常態性假設下估計極端報酬的可能性，是風險值計算的基礎。在生物學與醫學中，它有助於辨識異常測量值：血壓讀數若偏離平均值超過兩個標準差，就位於 95% 區間之外，值得進一步調查。
經驗法則範例
三個真實世界的分布，展示 68-95-99.7 法則如何帶來即時洞察。
| 分布 | 1σ 範圍 (68%) | 應用 |
|---|---|---|
| IQ 分數：μ = 100，σ = 15 | 85 到 115 | 約 68% 的人得分為 85–115，約 95% 為 70–130，約 99.7% 為 55–145。高於 130（比平均值高 2σ）的分數位於前 2.5%。 |
| 成年男性身高：μ = 175 cm，σ = 7 cm | 168 到 182 cm | 約 68% 的成年男性身高為 168–182 cm。約 95% 落在 161–189 cm。低於 154 cm 或高於 196 cm 的身高位於 3σ 範圍之外（<0.3%）。 |
| 大學考試成績：μ = 78，σ = 6 | 72 到 84 | 約 68% 的學生得分為 72–84。前 2.5%（高於 2σ = 90）可取得優等。約 99.7% 的分數介於 60 和 96。 |
| 製造業螺栓長度：μ = 50 mm，σ = 0.5 mm | 49.5 到 50.5 mm | 約 99.73% 的螺栓位於 3σ = 48.5–51.5 mm 內。任何超出此範圍的螺栓都會依六西格瑪品質標準標記為瑕疵品。 |
如何使用經驗法則計算器
- 在第一個欄位輸入常態分布資料的平均值 (μ)。平均值可以是任意實數。
- 在第二個欄位輸入標準差 (σ)。標準差必須是大於零的正數。
- 按一下計算。計算器會顯示三個彩色面板：68.27%、95.45% 與 99.73% 區間。
- 每個面板會顯示範圍（下限到上限）以及預期落入其中的資料百分比。
- 使用範例按鈕載入知名分布（IQ 分數、成人身高、考試成績），看看經驗法則如何運作。
經驗法則常見問題
統計學中的經驗法則是什麼？
經驗法則（也稱 68-95-99.7 法則或三西格瑪法則）指出，對於常態分布，約 68% 的資料落在平均值的一個標準差內，約 95% 落在兩個標準差內，約 99.7% 落在三個標準差內。它是一種快速描述常態分布分散程度並估計觀測值落入不同範圍機率的方法。
經驗法則適用於所有分布嗎？
不適用——經驗法則只適用於常態（高斯）分布。如果資料偏斜、多峰或厚尾，百分比會不同。對於非常態分布，切比雪夫不等式給出較弱但普遍有效的結果：至少 75% 的資料落在平均值的 2σ 內（常態分布為 95%），至少 88.9% 落在 3σ 內（常態分布為 99.7%）。
我如何知道資料是否呈常態分布？
常見方法包括檢視直方圖（是否呈鐘形且對稱？）、繪製 Q-Q（分位數-分位數）圖（常態資料的點應接近一直線），或使用 Shapiro-Wilk、Kolmogorov-Smirnov 等正式檢定。對於大樣本（n > 30），中心極限定理表示即使底層資料並非常態，平均值的抽樣分布也會近似常態。
「位於兩個標準差之外」是什麼意思？
對於常態分布，約 95.45% 的資料落在平均值的 2σ 內，這表示約 4.55% 落在外部——每個尾端約 2.275%。高於平均值超過 2σ 在統計上較少見，位於分布的前 2.27%。此門檻（常被寬泛地稱為 5% 或 1/20）是假設檢定中傳統 p < 0.05 顯著水準的基礎。
經驗法則如何用於品質管制？
在製造與流程品質中，管制界限通常設在距平均值三個標準差處（3σ 限）。在常態性假設下，當流程受控時，99.73% 的流程產出會落在這些界限內。超出 3σ 限的點會被視為特殊原因變異的訊號，需要調查。這構成統計製程管制 (SPC) 與六西格瑪品質管理方法的基礎。
我可以用它計算單側機率嗎？
經驗法則給出以平均值為中心的雙側區間。對於單側機率，將互補機率除以二。例如，約 95.45% 的資料落在兩側 2σ 內，因此 4.55% 落在外部——2.275% 高於 μ+2σ，2.275% 低於 μ−2σ。這就是為什麼 95% 雙側信賴區間使用 z = 1.96（約 2σ）：每個尾端排除 2.5%。