樣本平均數抽樣分布計算器
使用中央極限定理計算樣本平均數的機率——幾秒內求出標準誤、z 分數與精確機率。
輸入母體平均數、標準差與樣本數，接著選擇機率類型並填入樣本平均數值，即可立即取得結果。
樣本平均數抽樣分布計算器
使用中央極限定理計算樣本平均數的機率——幾秒內求出標準誤、z 分數與精確機率。
計算樣本平均數小於給定值 x₁ 的機率。
關於樣本平均數抽樣分布計算器
樣本平均數的抽樣分布描述的是：從同一母體反覆抽取相同樣本數的隨機樣本時，樣本平均數如何從一個樣本變動到下一個樣本。它是推論統計中最重要的概念之一，因為它是信賴區間、假設檢定，以及幾乎所有科學與工業領域品質管制圖的理論基礎。
中央極限定理 (CLT) 是讓這個分布變得實用的關鍵。CLT 指出，不論母體分布形狀為何，隨著樣本數 n 增加，樣本平均數的抽樣分布會趨近於常態分布。實務上，樣本數達到 30 或以上通常就足以取得很好的近似。若母體本身已呈常態分布，則無論樣本數多小，此結果都成立。
平均數的標準誤 (SE) 量化抽樣分布的分散程度。它等於母體標準差 σ 除以 n 的平方根：SE = σ / √n。較大的樣本數會讓 SE 變小，表示較大的樣本能對母體平均數產生更精確的估計。這也從數學上解釋了為什麼樣本數加倍會使標準誤減半，以及為什麼研究者會投入更多資料蒐集以降低不確定性。
知道標準誤後，任何樣本平均數 x̄ 都可用 z = (x̄ − μ) / SE 轉換為 z 分數。z 分數衡量 x̄ 與真實母體平均數 μ 相距多少個標準誤。由於抽樣分布近似常態，標準常態表——或其數學等價形式 Φ(z)——可以給出樣本平均數低於、高於或落在指定值之間的精確機率。
本計算器支援三種機率類型。第一種 P(X̄ < x) 給出樣本數為 n 的隨機樣本平均數低於 x 的左尾機率。第二種 P(X̄ > x) 給出右尾（上尾）機率。第三種 P(x₁ < X̄ < x₂) 給出樣本平均數落在兩個指定值之間的機率，計算方式為兩個累積常態機率之差。
實際用途橫跨各個領域。品質工程師可監控一批零件的平均尺寸是否超出公差；營養師可檢查抽樣群體的平均熱量攝取是否可能來自具有已知平均值的母體；金融分析師可估計一季內平均日報酬超過門檻的機率；臨床研究人員可判斷樣本中的平均降血壓幅度是否反映真實母體效果。在每個情境中，本計算器都能透過一次計算提供機率答案。
抽樣分布範例
展示如何套用抽樣分布計算器的真實情境。
| 情境 | 機率 | 解讀 |
|---|---|---|
| μ=80, σ=10, n=30, P(X̄ < 78) | ≈ 13.6% | 考試成績：當真實平均數為 80 時，30 名學生的班級平均低於 78 的機率約為 14%。 |
| μ=1000, σ=50, n=40, P(X̄ > 1010) | ≈ 10.3% | 燈泡壽命：一批 40 顆燈泡的平均壽命超過 1010 小時的機率約為 10%。 |
| μ=3, σ=0.5, n=50, P(2.9 < X̄ < 3.1) | ≈ 84.3% | 咖啡杯：樣本平均數落在母體平均數 ±0.1 杯範圍內的機率為 84%。 |
| μ=0.05, σ=1, n=100, P(X̄ < 0) | ≈ 30.9% | 股票報酬：當真實平均數為 0.05% 時，100 天平均報酬為負的機率為 31%。 |
如何使用抽樣分布計算器
- 輸入母體平均數 (μ)——整個母體的已知或假設平均值。
- 輸入母體標準差 (σ)——必須是正數。
- 輸入樣本數 (n)——每個樣本中的觀測數量（整數 ≥ 2）。
- 選擇機率類型：P(X̄ < x) 表示左尾，P(X̄ > x) 表示右尾，P(x₁ < X̄ < x₂) 表示區間機率。
- 輸入樣本平均數值並按下計算，即可查看標準誤、z 分數與精確機率。
抽樣分布常見問題
什麼是樣本平均數的抽樣分布？
它是從母體反覆抽取樣本數為 n 的隨機樣本時，所有可能樣本平均數形成的機率分布。中央極限定理保證，當 n 足夠大時，此分布近似常態，其平均數等於母體平均數 μ，標準差等於標準誤 SE = σ/√n。
什麼是標準誤？它和標準差有何不同？
標準差 (σ) 衡量個別資料點圍繞母體平均數的分散程度。標準誤 (SE = σ/√n) 衡量樣本平均數圍繞 μ 的分散程度。隨著 n 增大，SE 會縮小——樣本越大，平均數估計越精確。
什麼時候可以使用這個計算器？
當你知道母體標準差 σ，且樣本數 n 足夠大、可適用中央極限定理時（通常 n ≥ 30），即可使用。若母體本身為常態分布，則任意 n 都有效。若 σ 未知，應改用 t 分布。
這裡的 z 分數如何計算？
z 分數以 z = (x̄ − μ) / SE 計算，其中 x̄ 是你提供的樣本平均數，μ 是母體平均數，SE = σ/√n。它告訴你目標樣本平均數距離母體平均數有多少個標準誤，讓標準常態表能將該距離轉換為機率。
為什麼樣本數越大，機率分布的分散越小？
因為 SE = σ/√n，n 加倍會使 SE 依 √2 ≈ 1.41 的因子降低。較小的 SE 表示抽樣分布更高且更窄，樣本平均數更緊密地集中在 μ 附近。因此極端樣本平均數較不可能出現，信賴區間也會變短，這正是蒐集更多資料能提升估計精度的原因。
「介於兩者之間」的機率模式計算什麼？
區間模式計算 P(x₁ < X̄ < x₂)——隨機樣本平均數嚴格落在 x₁ 與 x₂ 之間的機率。它以 Φ(z₂) − Φ(z₁) 計算，其中 z₁ 與 z₂ 分別是 x₁ 與 x₂ 的 z 分數。當你想知道樣本平均數是否落在母體平均數周圍可接受範圍內時，這很有用。