常態分布反函數計算機 - 由P求X
根據常態曲線下的累積機率求對應的 x 值，支援左尾、右尾與雙尾（中心）計算。
輸入平均數 μ、標準差 σ、累積機率與尾端類型，即可求出對應的 x 值或區間。
常態分布反函數計算機 - 由P求X
根據常態曲線下的累積機率求對應的 x 值，支援左尾、右尾與雙尾（中心）計算。
請輸入 0 到 1 之間的值（不含端點）。左尾：x 左側面積；右尾：x 右側面積。
關於常態分布反函數計算機
常態分布反函數計算機——有時也稱為常態分布的分位數函數或百分點函數——回答的問題是：給定一個累積機率，對應的 x 值是什麼？這正好與標準常態 CDF 表查表的方向相反。不是由 x 計算 P(X ≤ x)，而是先給定 P，再求 x。
在統計學中，常態分布（也稱高斯分布或鐘形曲線）是以平均數 μ 與標準差 σ 參數化。任何特定常態分布都可以透過計算 Z 分數轉換為標準常態（μ=0，σ=1）：Z = (x − μ) / σ。反過來，任何標準常態分位數 Z 也能轉回原始分數 x = μ + σ·Z。常態分布反函數計算機運用這點，讓你可直接輸入任意平均數與標準差，不必手動做兩步轉換。
左尾模式可找出分布中低於指定比例的 x 值。若輸入 μ=0、σ=1、probability=0.95，工具會回傳約 1.6449，表示標準常態分布中有 95% 落在 Z=1.6449 之下。這就是第 95 百分位，常用於建立單尾 95% 信賴區間，或在 α=0.05 的單尾檢定中找出臨界值。
右尾模式可找出分布中高於指定比例的 x 值。輸入 μ=100、σ=15、probability=0.02，會回傳約 130.8，表示只有 2% 的 IQ 分數（建模為 N(100,15)）會超過此值。這種用法常見於資優方案的門檻、前百分位錄取標準，以及品管中的上尾超限界線。
雙尾（中心）模式可找出圍繞平均數對稱、且包含指定中心機率的區間。輸入 probability=0.95，代表你要的是涵蓋分布中心 95% 的區間，因此兩側尾部各占 2.5%。工具會同時回傳下限與上限 x 值。這正是 95% 信賴區間的建構方式：樣本平均數 ± 1.96 個標準誤，對應 μ=0、σ=1 的雙尾 95% 區間。
實際應用包括：找出假設檢定臨界值的 Z 分數；在製造業中計算公差區間（例如包含產品尺寸中心 99% 的範圍）；替標準化測驗設定及格/不及格門檻；在金融中決定 VaR（風險值）的截斷點；以及把機率預測反推回原始門檻。反常態函數是應用統計中最常用的操作之一，僅次於 CDF 本身。
常態分布反函數範例
來自統計、品質管制與心理計量的常見情境。
| 參數 | 結果 | 應用 |
|---|---|---|
| μ=0, σ=1, P=0.95, Left-Tailed | x = 1.6449 (Z = 1.6449) | 標準常態的第 95 百分位。常用作 α=0.05 單尾檢定的臨界值。 |
| μ=100, σ=15, P=0.02, Right-Tailed | x ≈ 130.8 (Z ≈ 2.054) | 進入前 2% 所需的最低 IQ。適合用於資優方案資格門檻。 |
| μ=50, σ=0.5, P=0.99, Two-Tailed | x = 48.71 to 51.29 | 涵蓋 99% 產品長度的製造公差區間。剩餘 1% 平分到過短與過長兩側。 |
| μ=75, σ=8, P=0.10, Left-Tailed | x ≈ 64.74 (Z ≈ −1.282) | 考試成績的後 10% 截止線。低於此門檻的學生可能需要補救支持。 |
如何使用常態分布反函數計算機
- 選擇尾端類型：左尾代表求某個比例以下的值；右尾代表求某個比例以上的值；雙尾（中心）代表求圍繞平均數、包含中心比例的對稱區間。
- 輸入平均數 μ（分布中心）與標準差 σ（必須為正）。若要查標準常態 / Z 分數，請使用 μ=0、σ=1。
- 以 0 到 1 之間的小數輸入累積機率。左尾時表示 x 左側面積；右尾時表示 x 右側面積；雙尾時表示中心面積（例如 0.95 代表中心 95%）。
- 點擊計算。單尾模式會顯示 x 值及其 Z 分數；雙尾模式會顯示上下界以及對應的 Z 分數範圍。
- 可使用範例按鈕預載常見情境，例如 95% 信賴區間的 Z 分數、IQ 百分位門檻或製造公差範圍。
常態分布反函數常見問題
什麼是常態分布反函數？
常態分布反函數（也稱分位數函數或 probit 函數）是將累積機率映射回常態曲線上對應值的函數。如果常態 CDF 告訴你 P(X ≤ x)，那麼反函數會根據 P 給出 x。你在查找某個信賴水準的臨界 Z 值時，計算機使用的就是這個函數——例如標準常態中 97.5% 對應 Z=1.96。
Z 分數和 x 值有什麼差別？
Z 分數是以標準差為單位、相對於平均數的標準化值：Z = (x − μ) / σ。x 值則是原始單位下的實際測量值。計算機會同時回傳兩者：x 值適合現實中的門檻（考試分數、產品長度、血壓），Z 分數適合跨分布比較或查統計表機率。
如何求 95% 信賴區間的臨界值？
95% 信賴區間使用雙尾臨界值，每個尾部截去 2.5%。將 μ=0、σ=1、probability=0.95，並選擇雙尾（中心）。計算機會回傳 Z≈1.96 作為上界（下界為 −1.96）。樣本平均數 ± 1.96 ×（標準誤）即可得到任何近似常態估計量的 95% 信賴區間。
單尾檢定在 α=0.05 時應該輸入什麼機率？
對於 α=0.05 的左尾檢定，請在選擇左尾後輸入 probability=0.05；結果就是低於此值時拒絕 H₀ 的臨界值。對於 α=0.05 的右尾檢定，請在選擇右尾後輸入 probability=0.05；結果就是高於此值時拒絕 H₀ 的臨界值。對於 α=0.05 的雙尾檢定，請輸入 probability=0.95 並選擇雙尾（中心），即可得到 ±1.96。
我可以把它用於非標準常態分布嗎？
可以——這正是它相較於簡單 Z 表的主要優勢之一。輸入實際分布的平均數 μ 和標準差 σ，計算機會自動使用 x = μ + σ × Z 將 Z 分數轉回原始單位。你不需要手動標準化資料。