殘差計算器 - 線性迴歸殘差

殘差是觀測值與統計模型預測值之間的差。就簡單線性迴歸而言，第 i 個觀測值的殘差定義為 e_i = y_i − ŷ_i，其中 y_i 是實際觀測值，而 ŷ_i 是最小平方法迴歸直線 ŷ = b₀ + b₁x 所預測的值。 普通最小平方法（OLS）會找出可使殘差平方和最小的迴歸直線（SSE = Σe_i²）。此工具使用標準公式計算斜率（b₁）與截距（b₀）：b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²，b₀ = ȳ − b₁x̄。 殘差分析是迴歸診斷中的基本步驟。擬合模型後，應檢視殘差以驗證關鍵假設：線性（殘差對 x 作圖時不應出現系統性模式）、同方差性（殘差變異應大致固定）、獨立性（殘差不應具有自相關），以及常態性（殘差應近似服從常態分布）。 殘差圖——殘差對預測值或自變數的散佈圖——是主要的診斷工具。殘差若在 0 附近隨機散佈且沒有模式，表示線性模型是合適的。U 形等系統性模式表示非線性，漏斗形表示異方差，而群聚則可能代表有影響力的觀測值或離群值。 決定係數 R² 衡量 y 的變異中有多少可由 x 解釋。R² 範圍從 0（模型無法解釋任何變異）到 1（完全擬合）。其計算式為 1 − SSE/SST，其中 SST = Σ(yᵢ − ȳ)²。 這個計算器非常適合學習迴歸的學生、需要快速做資料品質檢查的分析師，以及在進一步進行更複雜建模前驗證模型配適度的研究人員。結果包含完整迴歸方程式、逐點殘差表、總 SSE 與 R² 值，方便立即解讀。