標準差計算器 - 樣本與母體

標準差是衡量一組數字離散程度最常用的指標。它告訴你每個數值平均離平均數有多遠。標準差小，代表資料點緊密聚集在平均值附近；標準差大，代表資料分布更分散。由於標準差與原始資料使用相同單位，因此容易理解，也是統計學、品質管制、金融、科學與社會科學的基礎。 計算流程很清楚。先求出所有數值的平均數，再用每個數值減去平均數並平方——平方可以消除負號，也會讓偏差較大的數值獲得較高權重。把這些平方偏差加總，就得到總平方誤差。接著用資料點個數（或個數減一）去除，得到變異數，最後再對變異數開平方，就回到原始單位。這個平方根就是標準差。 這個計算器提供的關鍵選擇，是使用樣本公式還是母體公式。當你的資料包含你所關心群體的每一個成員時，使用母體公式，也就是除以 n，例如某個部門所有員工的年齡。當你的數字只是更大母體中的一個樣本，且你想估計那個母體的離散程度時，使用樣本公式，也就是除以 n − 1。除以 n − 1（稱為貝塞爾修正）可以讓樣本標準差成為無偏估計量，這也是多數統計工作預設採用它的原因。對同一份資料而言，樣本標準差一定會比母體值略大。 除了標準差，計算器也會顯示變異數（離散程度的平方形式）、平均數、數量、總和，以及最小值與最大值，讓你一眼就能看出範圍。變異數本身也很有用——它具有可加性，且是 ANOVA 與投資組合風險模型等方法的基礎——但標準差通常更直觀，因為它和資料單位相同。 標準差無所不在：老師用它看考試成績是否一致，製造商用它控制產品重量是否在公差內，投資人把它視為報酬波動，科學家則用它表示量測的不確定性。在近似常態分布中，約 68% 的數值落在平均數一個標準差範圍內，約 95% 落在兩個標準差範圍內，因此它是信賴區間、z 分數與假設檢定的核心。請在上方輸入數字，一次算出所有這些統計量。