標準差計算器 - 樣本與母體

標準差是衡量一組數字分散程度最常用的指標。它告訴你每個數值平均離平均值有多遠。標準差越小，代表資料越集中在平均值附近；標準差越大，代表資料分布越分散。由於標準差和原始資料使用相同單位，因此容易理解，也成為統計學、品管、金融、科學與社會科學的基礎。 計算流程很清楚。首先求出所有數值的平均值。接著用每個數值減去平均值並平方——平方可消除負號，並讓偏差較大的數值得到更高權重。把這些平方偏差加總後得到總平方誤差。再用資料點個數（或少一個）去除，得到變異數，最後對變異數開平方回到原始單位。這個平方根就是標準差。 這個計算器最重要的選擇，是要用樣本公式還是母體公式。如果你的資料包含你關心的整個群體，例如某部門全體員工的年齡，就使用母體公式，也就是除以 n。若你的資料只是從更大的母體中抽取的一部分，並希望估計整體的分散程度，就使用樣本公式，也就是除以 n − 1。除以 n − 1（稱為貝塞爾修正）可使樣本標準差成為不偏估計，因此是多數統計工作的預設做法。對同一組資料而言，樣本標準差總會略大於母體標準差。 除了標準差，計算器也會顯示變異數（分散程度的平方形式）、平均值、資料筆數、總和，以及最小值和最大值，讓你一眼看出範圍。變異數本身也很有用——它具有可加性，是變異數分析與投資組合風險模型等方法的基礎——但標準差通常更直觀，因為它和資料單位一致。 標準差無所不在：老師用它看考試成績是否穩定，製造商用它控制產品重量是否在公差內，投資人把它視為報酬波動，科學家則用它表示測量的不確定性。在近似常態分布中，約 68% 的數值落在平均值一個標準差範圍內，約 95% 落在兩個標準差範圍內，這也是它在信賴區間、z 分數與假設檢定中居於核心地位的原因。輸入上面的數字，就能一次算出這些統計量。