正弦計算機 - 計算任意角的正弦

正弦函數，記作 sin(x)，與餘弦和正切並列為三大基本三角函數之一。在直角三角形中，銳角的正弦定義為該角對邊長度與斜邊長度的比值。無論三角形大小如何，這個比值都介於 −1 和 1 之間，因此正弦是無量綱量，非常適合用來表示比例與週期現象。 將定義從銳角延伸到一般角度，最直觀的方法是單位圓——位於座標平面原點、半徑為 1 的圓。任何從正 x 軸量起的角度都對應單位圓上的一個點，而該角的正弦就是那個點的 y 座標。當角度從 0° 增加到 90° 時，y 座標從 0 升至 1；從 90° 到 180° 時又回到 0；從 180° 到 270° 時降到 −1；從 270° 到 360° 時再回到 0。這形成了具 360°（或 2π 弧度）週期的典型平滑重複波形，也就是正弦波。 角度可以用度或弧度來表示。整圓是 360° 或 2π 弧度，因此從度轉為弧度要乘以 π/180，而從弧度轉為度要乘以 180/π。許多科學公式——特別是在微積分、物理與訊號處理中——都使用弧度，因為在弧度制下，sin(x) 的導數就是 cos(x)，這是使用度制時不會成立的簡潔結果。本計算機支援兩種單位，並會在內部先轉換再計算。 正弦函數具有以 2π 弧度（360°）為週期的週期性，這表示對所有 x 都有 sin(x + 2π) = sin(x)。這種週期性也說明了為什麼 sin(30°) = sin(390°) = sin(750°) = 0.5。此函數同時也是奇函數，也就是 sin(−x) = −sin(x)，所以負角只會把結果的正負號翻轉：sin(−45°) = −sin(45°) ≈ −0.7071。 值得記住的特殊角度值：sin(0°) = 0，sin(30°) = 0.5，sin(45°) = √2/2 ≈ 0.7071，sin(60°) = √3/2 ≈ 0.8660，sin(90°) = 1，sin(180°) = 0，sin(270°) = −1。這些都來自 30-60-90 與 45-45-90 三角形的幾何關係。 在實務上，正弦出現在極為廣泛的應用中。在物理學裡，擺的位移、振動弦的形狀，以及交流電路的電壓都遵循正弦曲線。在訊號處理與音訊工程中，任何複雜的週期波形都可以分解為不同頻率與振幅的正弦波之和——這正是傅立葉分析的基礎。在導航與測量中，正弦定理（a/sin A = b/sin B = c/sin C）將任意三角形的邊與角關聯起來。在電腦圖學中，正弦與餘弦常搭配使用，用來計算旋轉、產生圓周運動並建立平滑動畫。 現代計算機通常透過泰勒級數展開推導出的高效率多項式近似來計算正弦：sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …，其中 x 以弧度表示。此級數對所有實數都收斂，且在接近 x = 0 時只需少數幾項就能達到機器精度。對於遠離 0 的角度，實作會先利用函數的週期性與對稱性，把角度縮減到 [−π/2, π/2] 範圍內，再套用級數。本計算機可回傳精確到十位有效數字的結果。