正弦定理計算器 - 解三角形（AAS、ASA、SSA）
使用正弦定理求任意三角形中未知的邊與角。支援 AAS、ASA 與 SSA，包括歧義情況。
選擇與你已知值相符的配置，在下方輸入，立即取得所有邊、角與三角形屬性。
正弦定理計算器 - 解三角形（AAS、ASA、SSA）
使用正弦定理求任意三角形中未知的邊與角。支援 AAS、ASA 與 SSA，包括歧義情況。
正弦定理範例
四個範例涵蓋 AAS、ASA 與兩種 SSA 情況。
| 配置與已知值 | 缺少的值 | 註解 |
|---|---|---|
| AAS：A=45°, B=60°, a=10 | C=75°, b≈12.25, c≈13.66 | C = 180−105 = 75°。b = 10⋅sin(60°)/sin(45°) ≈ 12.25。c = 10⋅sin(75°)/sin(45°) ≈ 13.66。 |
| ASA：A=30°, c=12, B=50° | C=100°, a≈6.09, b≈9.33 | C = 180−80 = 100°。a = 12⋅sin(30°)/sin(100°) ≈ 6.09。b = 12⋅sin(50°)/sin(100°) ≈ 9.33。 |
| SSA：a=15, b=10, A=60° | 一個解：B≈35.26° | sin(B) = 10⋅sin(60°)/15 ≈ 0.5774。只有一個符合 B < 180−A 的解有效。 |
| SSA：a=8, b=10, A=40° | 兩個解：B≈52.47° 或 B≈127.53° | 歧義情況：sin(B) = 10⋅sin(40°)/8 ≈ 0.8035。兩個反正弦值都可得到有效三角形。 |
關於正弦定理計算器
正弦定理是解三角形的兩大基本定理之一（另一個是餘弦定理）。對於任意邊為 a、b、c，且對角分別為 A、B、C 的三角形，定理指出：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。這個共同比值等於三角形外接圓的直徑，是一項優美的幾何性質。
當你至少知道一條邊及其對角，並且還有足夠的附加資訊能唯一（或帶歧義地）決定三角形時，就可以使用正弦定理。本計算器支援三種配置。
AAS（角-角-邊）：你知道兩個角和一條不夾在這兩個角之間的邊。由於三角形內角和為 180°，第三個角可立即計算為 C = 180° − A − B。接著使用 b = a⋅sin(B)/sin(A) 與 c = a⋅sin(C)/sin(A) 求出其餘兩邊。解永遠唯一。
ASA（角-邊-角）：你知道兩個角以及它們之間的那條邊。做法與 AAS 類似：先計算第三個角，再用正弦定理求出另外兩邊。解同樣唯一。
SSA（邊-邊-角）：你知道兩條邊和一個不夾在中間的角。這就是「歧義情況」。依數值不同，可能沒有解、只有一個解，或有兩個有效三角形。計算器會自動偵測所有情況：如果給定角是鈍角，且其對邊長於鄰邊，則只有一個解；如果給定角是銳角，且其對邊短於鄰邊但又足以碰到基準線，則可能有兩個解。若存在兩個解，計算器會同時列出。
正弦定理在導航、測量與工程中有廣泛應用。三角定位技術透過在已知參考點量測角度來決定點的位置，便依賴正弦定理的反覆使用。在導航中，航向與航程之間的計算會使用三角函數定理。在結構分析中，當幾何關係由角度與一條已知邊定義時，桁架構件上的力也可透過正弦定理求解。
本計算器自動處理這三種配置，透明地應對 SSA 歧義情況，並輸出所有三角形屬性：三條邊、三個角以及三角形類型。
如何使用正弦定理計算器
- 選擇與你已知值相符的配置：AAS（兩個角和一條不夾邊）、ASA（兩個角和夾邊）或 SSA（兩條邊和一個不夾角）。
- 在對應欄位輸入已知值。角度單位為度。
- 點擊計算。計算器會套用正弦定理求出所有未知邊與角。
- 對於 SSA，請查看系統回報的是一個解還是兩個解。歧義情況會自動處理。
- 點擊重設清空所有欄位並解算新的三角形。
常見問題
什麼是正弦定理？
正弦定理指出，在任意三角形中，邊長與其對角正弦的比值是固定的：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。這個共同比值等於外接圓的直徑。它用於已知至少一組邊角對（邊及其對角）時解三角形。
什麼是 SSA 歧義情況？
SSA 情況（兩邊和一個不夾角）之所以稱為歧義，是因為它可能產生零個、一個或兩個有效三角形。當角是銳角，且對邊介於三角形高與鄰邊之間時，可能出現兩個不同構型的三角形。計算器會自動辨識兩種解。
什麼時候該用正弦定理，什麼時候該用餘弦定理？
AAS、ASA 與 SSA 配置使用正弦定理。SAS（兩邊和夾角）以及 SSS（已知三邊）則使用餘弦定理。餘弦定理透過解二次方程避免 SSA 的歧義，而正弦定理雖然比值更簡單，但必須處理兩個可能的反正弦值。
在這個計算器裡要如何輸入角度？
所有角度都應以度為單位輸入。計算器會在內部將其轉為弧度以進行三角函數運算。請確保 AAS 與 ASA 中輸入的兩個角之和小於 180°，這樣第三個角才會為正。對於 SSA，輸入的角也必須介於 0 到 180 度之間。
「三角形類型」是什麼意思？
計算器會按角與邊來分類三角形。按角分：銳角三角形（所有角 < 90°）、直角三角形（有一個角 = 90°）或鈍角三角形（有一個角 > 90°）。按邊分：等邊三角形（三邊相等）、等腰三角形（兩邊相等）或不等邊三角形（沒有相等的邊）。當找到有效解時，這些標籤會顯示在結果區。
正弦定理可以用於直角三角形嗎？
可以。對於直角在 C 的直角三角形，sin(C) = sin(90°) = 1，因此正弦定理可簡化為 a/sin(A) = b/sin(B) = c。這與基本的直角三角形三角函數公式 sin(A) = a/c 和 sin(B) = b/c 一致。正弦定理適用於包含直角三角形在內的所有三角形。