整除測試計算器
測試任意整數是否可被 2–12 或自訂除數整除，並立即了解整除規則。
輸入一個正整數，並選擇檢查常見除數（2–12）或指定你自己的除數。結果會顯示每個除數是否能整除該數。
整除測試計算器
測試任意整數是否可被 2–12 或自訂除數整除，並立即了解整除規則。
關於整除測試計算器
整除是數論中的基礎概念之一。如果 n ÷ d 沒有餘數，則稱整數 n 可被 d 整除——換句話說，d 能整除 n，且結果為整數。測試整除性是許多數學過程中的關鍵步驟：透過尋找公因數來化簡分數、識別質數、因式分解多項式，以及求解模運算問題，都需要知道哪些整數能整除給定數字。
對於較小的除數，數學家們已經整理出優雅的速判規則，可以在不做長除法的情況下判斷整除性。2 的規則最簡單：任何以 0、2、4、6 或 8 結尾的整數都能被 2 整除。對於 5，末位必須是 0 或 5。對於 10，末位必須是 0。之所以成立，是因為我們的數制是十進制，所以末位數字就足以決定除以 2、5 或 10 時的餘數。
能否被 3 整除取決於各位數字之和：把所有數字相加，如果和能被 3 整除，那麼原數也能被 3 整除。例如，123 的數字和是 1+2+3 = 6，6 能被 3 整除，因此 123 也能被 3 整除。9 的規則相同，只是數字和必須能被 9 整除而不是 3。對於 6，一個數必須同時能被 2 和 3 整除（因為 6 = 2 × 3，且 2 和 3 互質）。
能否被 4 整除取決於最後兩位：如果由十位和個位組成的兩位數能被 4 整除，那麼整個數就能被 4 整除。例如，316 的末兩位是 16，而 16 ÷ 4 正好等於 4，所以 316 能被 4 整除。能否被 8 整除則進一步看末三位：最後三位組成的數必須能被 8 整除。
對於 11，適用交錯位數和規則：把奇數位上的數字之和減去偶數位上的數字之和。如果結果為 0 或能被 11 整除，那麼原數能被 11 整除。對於 7，並沒有像其他規則那樣簡潔的單步速算方法，所以本計算器直接使用單純的模運算判斷。
對於 12，一個數必須同時能被 3 和 4 整除（因為 12 = 3 × 4，且 gcd(3,4) = 1）。計算器會自動檢查這一複合條件。
除了預設的 2–12 除數，自訂模式還接受任意以逗號分隔的正整數清單，因此這個工具也適合檢查質數（13、17、19 等）、冪次（16、25、32 等）或與你的問題相關的其他除數。
整除測試範例
三個範例展示整除規則如何適用於不同類型的整數。
| 數字 | 可被整除 | 套用的關鍵規則 |
|---|---|---|
| 360 | 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 | 360 以 0 結尾（可被 2、5、10 整除），數字和為 9（可被 3、9 整除），末兩位 60 可被 4 整除（可被 4、8 整除），同時可被 2 和 3 整除（可被 6 整除），也可被 3 和 4 整除（可被 12 整除）。 |
| 123 | 3 | 數字和 1+2+3 = 6 可被 3 整除，但 123 是奇數（不可被 2 整除），末位不是 0 或 5（不可被 5 整除），而且也無法通過其他常見測試。 |
| 1001 | 7, 11 | 1001 = 7 × 11 × 13。11 的交錯位數和：1−0+0−1 = 0，說明可被 11 整除。直接取模檢查確認可被 7 整除。 |
如何使用整除測試計算器
- 在「要測試的數字」欄位中輸入你想測試的正整數。
- 選擇「常見除數（2–12）」可一次測試 2 到 12 的所有除數，或選擇「自訂除數」來指定自己的清單。
- 如果選擇了「自訂除數」，請在「自訂除數」欄位中輸入以逗號分隔的整數（例如 2, 3, 5, 7）。
- 點擊「測試整除性」即可查看表格，其中會顯示每個除數是否能整除該數，以及每次測試的餘數。
- 點擊「重設」可清空欄位並測試另一個數字。
整除測試常見問題
一個數可被另一個數整除是什麼意思？
如果 n ÷ d 得到的是一個沒有餘數的整數，則稱整數 n 可被 d 整除，也就是 n mod d = 0。例如 12 可被 4 整除，因為 12 ÷ 4 正好等於 3。整除是數論中最基礎的關係之一，是因式分解、分數化簡和模運算的基礎。
2 和 3 的整除規則是什麼？
對於 2：如果一個數的末位是 0、2、4、6 或 8，那麼它可被 2 整除（也就是偶數）。對於 3：把各位數字相加，如果和能被 3 整除，那麼原數也能被 3 整除。例如 573 的數字和是 5+7+3 = 15，15 能被 3 整除，所以 573 也能被 3 整除。
如何測試 7 的整除性？
對於 7，沒有像 2、3 或 5 那樣一步到位的簡潔規則。最可靠的方法是直接用模運算計算餘數：n mod 7。本計算器就是這樣做的。如果餘數為 0，則 n 可被 7 整除；否則不可。
為什麼要測試 6 或 12 這樣的合數除數？
對合數除數的測試，等同於同時測試它們的所有質因數。一個數可被 6 整除，當且僅當它同時可被 2 和 3 整除。可被 12 整除，則表示同時可被 3 和 4 整除。這類複合測試是日常算術中因式分解和化簡表達式的快捷方法。
我可以測試很大的數字嗎？
可以。這個計算器可處理不超過 JavaScript 安全整數上限的正整數（2⁵³ − 1，約為 9 × 10¹⁵，即 16 位數）。對於大多數課堂、作業和日常使用來說，這已經完全足夠。若數字超過 15 位，則需要專門的任意精度函式庫。
11 的交錯位數和規則是怎樣的？
判斷是否能被 11 整除時，從右到左給各位數字依序賦予 +、−、+、− 的符號，然後求和。如果結果為 0 或能被 11 整除，那麼這個數就能被 11 整除。以 1001 為例：從右往左，1×(+1) + 0×(−1) + 0×(+1) + 1×(−1) = 1 − 1 = 0，所以 1001 能被 11 整除。