張量積計算器

張量積在向量語境中也稱為外積，是線性代數中的基本運算。它接收兩個向量並產生一個矩陣。若向量 u 有 m 個分量，向量 v 有 n 個分量，則它們的張量積 u ⊗ v 會得到一個 m × n 矩陣，其中第 i 列第 j 行（原文此處為行列概念）對應的元素等於 uᵢ 乘以 vⱼ。這與點積形成鮮明對比，點積會把兩個向量縮減成一個純量；也不同於叉積，叉積只適用於三維向量並會得到另一個向量。 從數學上來說，若 u = [u₁, u₂, …, uₘ] 且 v = [v₁, v₂, …, vₙ]，那麼對所有有效的 (i, j) 都有 (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ。其計算時間複雜度為 O(mn)，即使向量不算太小也十分有效率。張量積是雙線性的——將任一向量按同樣倍數縮放，結果也會按相同倍數縮放，而且它對向量加法滿足分配律。 張量積不是交換律成立的：u ⊗ v 和 v ⊗ u 通常是不同的矩陣（一個是 m × n，另一個是 n × m），除非 m = n 且存在某些特殊關係。第一個向量永遠決定列，第二個永遠決定行。這種非對稱性在物理或機器學習中特別重要，因為順序本身就帶有物理或語意上的意義。 在量子力學中，張量積是描述複合系統不可或缺的工具。當兩個量子系統結合時，複合系統的態空間就是各自態空間的張量積。例如，雙量子位元系統具有 4 維態空間，而這正是兩個 2 維量子位元空間的張量積。量子糾纏正是在複合態無法寫成各自單獨狀態的簡單張量積時出現。 在機器學習與資料科學中，張量積（以及更高階的推廣形式「張量」）支撐了 Transformer 模型中的注意力機制、推薦系統中的特徵交叉運算，以及影像處理中的可分離卷積。例如，高斯模糊核可以視為一維水平高斯濾波器與一維垂直高斯濾波器的張量積，進而實現高效率的可分離計算。 在訊號處理中，將多維濾波器表示為一維濾波器的張量積可大幅節省運算量。此計算器產生的扁平向量表示特別適合後續需要一維輸入的運算，例如全連接神經網路層。