圓的切線計算器

在歐幾里得幾何中，圓的切線是一條只在一個點上與圓接觸、且不穿過圓內部的直線。這個唯一接觸點稱為切點。切線的概念是座標幾何的基礎，也支撐了許多真實世界的計算——從旋轉物體被釋放後飛出的方向，到光線在曲面上的反射方式。 其關鍵幾何關係是切線—半徑定理：從圓心連到切點的半徑一定垂直於切線。因為互相垂直的直線斜率互為負倒數，所以這一定理能讓我們很直接地推導切線方程。 給定圓心為 (h, k)、半徑為 r 的圓，以及圓周上的一點 (x₁, y₁)，推導從半徑斜率開始：m_radius = (y₁ − k) / (x₁ − h)。切線斜率是其負倒數：m_tangent = −(x₁ − h) / (y₁ − k)。再使用直線的點斜式 y − y₁ = m_tangent(x − x₁)，即可得到最後方程。 切線的一般式為 (x₁ − h)(x − h) + (y₁ − k)(y − k) = r²，可改寫為 (x₁ − h)x + (y₁ − k)y = r² + (x₁ − h)h + (y₁ − k)k。這裡有兩種特殊情況：當點正好在圓心正上方或正下方（x₁ = h）時，半徑是垂直的，切線就是水平直線——方程可直接寫成 y = y₁；當點正好在圓心左側或右側（y₁ = k）時，半徑是水平的，切線就是垂直直線——方程為 x = x₁，此時斜截式不適用。 使用此計算器時常見的錯誤是輸入了一個實際上不在圓上的點。請檢查 (x₁ − h)² + (y₁ − k)² 是否等於 r²（允許少量浮點誤差）。如果不相等，對應的切線公式就無效，計算器會回傳錯誤。 圓的切線廣泛出現在物理、工程與電腦科學中。在力學中，粒子沿圓周運動時的瞬時速度方向就是該點的切線方向。在齒輪與滑輪設計中，切線定義了皮帶或鏈條在輪子之間的路徑。在電腦圖學中，切向量用來計算光照法線、平滑曲線與碰撞反應。在道路工程中，平曲線以切線段連接，而這些曲線的進出點正是切點。