圓的方程計算器

圓定義為平面中到固定圓心等距的所有點所形成的集合。圓心到圓上任一點的固定距離稱為半徑。這個幾何定義可直接轉化為一個精確描述圓的代數方程。 圓方程的標準式為 (x − h)² + (y − k)² = r²，其中 (h, k) 是圓心，r 是半徑。它直接來自距離公式：圓上任一點 (x, y) 與圓心 (h, k) 的距離為 √[(x − h)² + (y − k)²]，令其等於 r 並兩邊平方，即可得到標準式。標準式最大的優點是不用任何代數運算，就能立刻看出圓心與半徑。 圓方程的一般式為 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。它是由標準式展開後，將所有項整理到同一邊得到的。係數與圓心和半徑的關係如下：D = −2h，E = −2k，F = h² + k² − r²。一般式適合代數操作、解含有圓的方程組，以及微積分中求由曲線圍成的面積等應用。 在不同形式之間轉換是一項基本技能。從標準式到一般式，需要展開平方並重新整理；從一般式回到標準式，則要對 x 項與 y 項分別配方。配方法就是把 x² + Dx 改寫成 (x + D/2)² − (D/2)²，從而將圓心座標提取為 −D/2。 圓的面積為 A = πr²，周長為 C = 2πr。兩者都只取決於半徑，因此一旦知道方程，幾何量就能立刻求得。對於以原點為圓心的單位圓，r = 1，所以 A = π、C = 2π——這是數學中最簡單、也最常研究的圓。 圓方程有廣泛的實際應用。在電腦圖形與遊戲開發中，它們用於碰撞偵測：當兩個圓的圓心分別為 (h₁, k₁) 與 (h₂, k₂)，半徑為 r₁ 與 r₂ 時，如果兩圓心距離小於 r₁ + r₂，它們就會重疊。在工程上，管道、齒輪與車輪的圓形截面常用圓方程描述，以進行公差與配合計算。在天文學中，簡化的圓形軌道常作為進一步修正為橢圓之前的一階近似。 理解符號約定非常重要。在標準式 (x − h)² + (y − k)² 中，圓心的 x 座標 h 會以減號出現。所以圓心在 (3, −2) 時，方程應寫成 (x − 3)² + (y − (−2))² = (x − 3)² + (y + 2)² = r²。學生常在這裡出錯，把 (x − 3)² 寫成 (x + 3)²。計算器會自動處理這些約定，以完全化簡、易讀的形式顯示方程。