餘弦相似度計算器 - 向量相似性分析

餘弦相似度是在多維空間中比較兩個非零向量相似性最常用的指標之一。不同於衡量兩個點相距多遠的歐幾里得距離，餘弦相似度只關注向量的朝向——更精確地說，就是它們夾角的餘弦值。因此，當大小不重要而方向更關鍵時，它特別實用，例如比較不同長度的文件，或活動程度不同的使用者偏好檔案。 公式很簡單：cos(θ) = (A · B) / (‖A‖ × ‖B‖)，其中 A · B 是兩個向量的點積，‖A‖ 和 ‖B‖ 分別是它們的歐幾里得模長（範數）。點積是將對應元素相乘後再加總。向量的模長則是各分量平方和的平方根。 結果始終落在 [−1, 1] 範圍內。餘弦相似度為 1 表示兩個向量指向完全相同的方向——它們完全一致。值為 0 表示它們彼此垂直（正交）——在方向上沒有相關性。值為 −1 表示它們指向完全相反的方向。實務上，許多應用只考慮非負特徵（如詞頻或評分次數），此時相似度會被限制在 [0, 1]。 在自然語言處理與資訊檢索中，餘弦相似度是比較以 TF-IDF 或詞袋向量表示的文字文件的標準方法。由於長文件自然具有更大的向量模長，直接比較原始點積會不公平地偏向它們。透過以模長乘積進行歸一化，餘弦相似度消除了長度偏差，只聚焦於詞項的比例組成。 推薦系統使用餘弦相似度來配對使用者偏好向量。如果兩位使用者對相似項目的相對偏好模式相近——即使其中一位使用者整體評分的項目更多——他們的餘弦相似度也會很高，代表品味相近。同樣的邏輯也適用於影像辨識，神經網路提取的特徵描述向量可用餘弦相似度來比較，進而找出視覺上相似的影像。 對於這個計算器，只要兩個向量的維度數量相同，你就可以輸入任意長度的向量。數值可用逗號或空格分隔。計算器會顯示餘弦相似度、點積以及每個向量的模長，方便你逐步驗證計算過程。