餘弦定理計算機 - 解任意三角形 (SAS/SSS)
使用餘弦定理解任意三角形。透過 SAS 求未知邊，或透過 SSS 求未知角。
選擇要找未知邊（SAS）還是未知角（SSS），輸入已知值，就能立即得到結果。
餘弦定理計算機 - 解任意三角形 (SAS/SSS)
使用餘弦定理解任意三角形。透過 SAS 求未知邊，或透過 SSS 求未知角。
餘弦定理範例
四個典型情境，涵蓋 SAS 與 SSS 配置，並包含一個鈍角三角形。
| 已知值 | 結果 | 構型 |
|---|---|---|
| a=5, b=7, C=45° (SAS) | c ≈ 4.950 | c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503，c ≈ 4.950。 |
| a=8, b=6, c=10 (SSS) | C = 90° | cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0，所以 C = arccos(0) = 90°（直角三角形）。 |
| a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse) | c ≈ 19.08 | c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364，c = √364 ≈ 19.08。 |
| a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles) | C ≈ 38.94° | cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778，C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°。 |
關於餘弦定理計算機
餘弦定理是三角學中的基本定理，它把畢氏定理推廣到任何三角形，而不只是直角三角形。若三角形的三邊 a、b、c 分別對應角 A、B、C，則公式為：c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C)。當 C = 90° 時，cos(C) = 0，公式就會退化成大家熟悉的畢氏定理 c² = a² + b²。
餘弦定理主要有兩種使用情境。在邊角邊（SAS）情境下，你已知兩邊與其夾角，想求第三邊。在邊邊邊（SSS）情境下，你已知三邊，想求其中一個角。將公式改寫後，SSS 可表示為：cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)，再對該值取反餘弦即可得到 C。
餘弦定理與正弦定理密切相關，但適用於正弦定理無法直接使用的情況。具體來說，正弦定理需要兩角一邊（AAS/ASA）或兩邊及其非夾角（SSA，會有歧義情況）。餘弦定理能直接處理 SAS 與 SSS，在每種情況下都能給出唯一解（前提是輸入確實形成一個真實三角形）。
它在測量、導航、建築、工程與物理中都有很多實際用途。測量人員會用餘弦定理在無法直接量測時計算兩點之間的距離。導航軟體會使用同一公式的球面版本，計算兩個 GPS 座標之間的方位與距離。結構工程師則用它計算與三角形幾何有關的桁架構件受力。電腦圖學流程也會用餘弦法則來求網格邊之間的夾角。
對於鈍角三角形，其中一個角大於 90°，其餘弦為負，因此 c² > a² + b²。餘弦定理能自然處理這種情況，因為公式同時容納正、負餘弦值。這是它相較於假設存在直角的簡單方法的一大優勢。
這個計算機同時支援 SAS 與 SSS。SAS 時，輸入邊 a、b 以及夾角 C，工具會計算邊 c。SSS 時，輸入三邊 a、b、c，工具會計算角 C。結果會連同使用的公式一起顯示，方便你手動驗算。
如何使用餘弦定理計算機
- 選擇計算模式：如果你知道兩邊及其夾角，請選“求邊長（SAS）”；如果你知道三邊，請選“求角度（SSS）”。
- 在 SAS 模式下，輸入邊 a 和 b 的長度，以及夾角 C（單位為度）。
- 在 SSS 模式下，輸入三邊 a、b、c 的長度。
- 點擊“計算”。工具會套用餘弦定理並顯示未知邊或角。
- 點擊“重設”即可清空所有欄位並解另一個三角形。
常見問題
什麼是餘弦定理？
餘弦定理指出：對於任意三角形，若邊為 a、b、c，且對應角為 A、B、C，則 c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C)。它把畢氏定理推廣到非直角三角形，其中餘弦項用來修正偏離直角的程度。當 C = 90° 時，cos(C) = 0，就能回到熟悉的畢氏定理。
什麼時候該用餘弦定理，而不是正弦定理？
當你處於 SAS（兩邊及夾角）或 SSS（三邊）構型時，應使用餘弦定理。AAS 與 ASA 情況更適合用正弦定理。對於 SSA，正弦定理雖然可用，但會出現歧義；餘弦定理透過解二次方程避免了這種歧義，不過其中一個解可能是多餘的。
餘弦定理能處理鈍角三角形嗎？
可以。對於鈍角三角形，大於 90° 的角其餘弦為負。公式 c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) 依然成立；負餘弦會使 c² 大於 a² + b²，正確反映邊 c 是鈍角所對的最長邊。
如何由三邊求三角形的所有角？
用不同字母對應關係把餘弦定理套用三次。先求 C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab))，再求 B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac))，最後求 A = 180° − B − C。或者，在已知兩個角後，第三個角可由三角形內角和求出。
如果輸入不能形成有效三角形會怎樣？
對於 SSS，必須滿足三角形不等式：每一邊都要小於另外兩邊之和。如果不成立，就不存在有效三角形，公式會得到 |cos(C)| > 1，而這沒有實數反餘弦值。這個計算機會偵測該情況並顯示錯誤訊息。
餘弦定理和 cosine rule 是同一個東西嗎？
是的，餘弦定理和 cosine rule 指的是同一個定理。“cosine rule” 常見於英國教育脈絡，而 “law of cosines” 則更常見於美國教材。它們的公式與應用完全相同。