有限小數計算器

有限小數是小數點後只有有限且確定數量位數的小數。例如 0.5、0.75、0.125 和 3.25。相較之下，像 0.333… 或 0.142857142857… 這類循環小數會無限延續。兩種類型都是有理數，也就是都可以表示成分數，但只有有限小數能精確寫成有限位的小數表示。 判斷哪些分數會得到有限小數的規則非常簡潔，而且直接來自十進位數制的結構。任何小數都可以視為分母是 10 的冪（10、100、1000、…）的分數。分數 p/q 當且僅當約分到最簡形式後，分母 q 的質因數除了 2 和 5 之外沒有其他質因數時，才會化為有限小數。原因是 10 的任意次方的質因數只有 2 和 5，而一個分數能且僅能在分母只含這兩個質數時，轉換成以 10 的冪為分母的等值分數。 此計算器採用的演算法有三個步驟。首先，它計算分子與分母的最大公因數（GCD），並同時除以它，取得最簡分數。其次，它找出化簡後分母的質因數分解。第三，它檢查每個質因數是否都是 2 或 5。若是，該分數會化為有限小數；若出現任何其他質數（3、7、11、13、…），則會循環。 舉例來說，分數 7/20 的分母為 20 = 2² × 5。由於質因數只有 2 和 5，7/20 是有限小數。它的小數值是 0.35，因為 7/20 = 35/100。另一方面，1/6 的分母為 6 = 2 × 3。因數 3 的存在表示 1/6 無法表示為以 10 的冪為分母的分數，因此它會循環：0.1666… 一個重要細節是化簡的角色。例如 6/30 看起來較複雜，但用最大公因數 6 化簡後得到 1/5，其分母只是 5，因此是有限小數。同樣地，2/12 會化簡為 1/6，而它會循環。這就是為什麼計算器總是先約分，再檢查分母的質因數。 分母大小與小數是否有限無關。分數 1/1024 會終止，因為 1024 = 2¹⁰，即使 1024 相當大。相反地，1/3 會循環，因為 3 是不同於 2 或 5 的質數，即使 3 很小。重點在於質因數的性質，而不是它們的大小。