向量方向計算器 - 方向角與方向餘弦

向量的方向描述它在空間中指向哪裡，與其大小無關。大小告訴你向量有多長或強度多大，而方向告訴你它相對於座標軸的取向。向量方向最精確的表示方式是方向角，也就是向量與各正座標軸形成的角，以及方向餘弦，也就是這些角的餘弦值。 對於二維向量 v = (x, y)，方向通常表示為從正 x 軸逆時針量測的一個角 α。公式為 α = arctan(y/x)，但使用雙參數反正切 atan2 可確保不論 x 和 y 的符號如何，都能識別正確象限。二維中的方向餘弦為 cos α = x/|v| 和 cos β = y/|v|，其中 |v| 是大小 √(x²+y²)。 對於三維向量 v = (x, y, z)，有三個方向角：α（與 x 軸的夾角）、β（與 y 軸的夾角）和 γ（與 z 軸的夾角）。每個角都由相應方向餘弦的反餘弦計算得到：cos α = x/|v|，cos β = y/|v|，cos γ = z/|v|，其中 |v| = √(x²+y²+z²)。方向餘弦的一個基本恆等式是 cos²α + cos²β + cos²γ = 1，這反映了單位向量長度為 1 的事實。 沿 v 方向的單位向量 û 就是 v 除以它的大小：û = v/|v| = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)。它的大小恰好為 1，並且與 v 指向相同方向。單位向量在物理與工程中非常重要，可用來指定方向而不包含任何大小資訊，例如力的方向、曲面法線的取向或感測器的指向。 方向計算是線性代數、電腦圖學、機器人學與物理學中的基礎。在三維圖學中，方向餘弦與單位向量定義表面法線、光照方向和相機朝向。在機器人學中，它們編碼關節姿態與工具方向。在物理學中，力、速度與場向量都有可透過方向角分析的方向。本計算器支援二維與三維情況，並以完整精度一步計算所有方向角、方向餘弦、單位向量與大小。