弦長計算器 - 求弦長、半徑或圓心角

弦是圓幾何中的基本線段之一。它連接圓周上任意兩個不同的點，並把圓內部劃分為兩個區域。直徑是經過圓心的特殊弦，也是任何圓中最長的弦。其他所有弦都嚴格短於直徑，且所對的圓心角都嚴格小於 180°。 弦長、半徑和圓心角之間的關係可由公式 c = 2r × sin(θ/2) 表示，其中 c 為弦長，r 為半徑，θ 為弧度制圓心角。這個公式源自餘弦定理。若從圓心向弦的兩個端點作半徑，就會得到一個等腰三角形，兩邊長為 r，夾角為 θ。套用餘弦定理可得 c² = 2r²(1 − cos θ)。再利用半角恆等式 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2)，即可化簡為 c = 2r sin(θ/2)。 計算器支援與此公式對應的三種模式。在求弦長模式下，輸入 r 和 θ，計算器直接求值 2r sin(θ/2)。在求半徑模式下，輸入 c 和 θ，計算器求值 r = c / (2 sin(θ/2))；當你已經實測出一條弦，並且知道對應弧跨度為特定角度時，這很有用。在求圓心角模式下，輸入 r 和 c，計算器求值 θ = 2 arcsin(c / (2r))，得到其正弦等於 c/(2r) 的角度。 角度單位可在度和弧度之間自由切換。對大多數使用者而言，度更直觀，因此是預設單位，但工程和科學計算常用弧度，因為只有弧度制下弧長 = r × θ 才成立。計算器會在內部轉換，因此你可以按來源資料使用任一體系。 弦長計算在實際中應用廣泛。在結構工程中，拱橋設計會使用跨距（弦長）、拱高和曲率半徑之間的關係。在機械工程中，漸開線齒輪齒形依賴節圓上的弦長計算。測量人員會將弦長與弧長測量結合起來，在曲線阻礙視線測量時計算距離。在木工中，需要把一塊彎曲木料切割成跨越特定距離、以特定角度成形的工匠，使用的正是這個公式。航海歷史上曾使用弦表——現代三角函數表的前身——來計算球面上的距離。 此計算器可處理在物理約束內的任何有效輸入組合：半徑必須為正，弦長必須為正且不超過半徑的兩倍，角度必須為正且小於 360°（或 2π 弧度）。結果保留到小數點後八位，這對任何實際應用來說都綽綽有餘。