條件數計算器 - 矩陣條件與穩定性

可逆矩陣 A 的條件數定義為 κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖，其中 ‖·‖ 表示任何相容的矩陣範數。它衡量線性系統 A·x = b 的解 x 中，相對誤差會被右端項 b 的相對誤差放大多少。直觀來說，條件數小的矩陣是條件良好的：輸入中的微小誤差只會造成很小的輸出誤差。條件數大的矩陣則條件不佳：即使資料裡只有極小的浮點捨入誤差，也可能產生非常不準確的解。 這個計算器支援 2 × 2 與 3 × 3 矩陣，以及三種最常用的矩陣範數。1 範數是絕對值欄和的最大值，‖A‖₁ = max_j Σᵢ |aᵢⱼ|。無窮範數是絕對值列和的最大值，‖A‖∞ = max_i Σⱼ |aᵢⱼ|。Frobenius 範數是所有元素平方和的平方根，‖A‖_F = √(Σᵢⱼ |aᵢⱼ|²)，可視為矩陣版的歐幾里得向量範數。對於 2 × 2 矩陣，反矩陣使用解析公式計算：A⁻¹ = (1/det A) · [[d, −b], [−c, a]]。對於 3 × 3 矩陣，使用餘因子（伴隨矩陣）公式。 條件數是數值線性代數中的核心概念。當你在電腦上使用 LU 分解或高斯消去法求解線性系統時，計算結果的相對誤差上界大致是 κ(A) · ε，其中 ε 是機器精度（IEEE-754 雙精度約為 10⁻¹⁶）。因此，條件數為 10⁶ 代表僅因捨入誤差就可能損失多達 6 位有效數字。作為粗略經驗法則，κ < 100 的矩陣通常視為條件良好，κ 在 100 到 1000 之間的是中度條件，而超過 10³ 的則條件不佳，應謹慎處理。 還有一些重要注意事項。條件數取決於所選範數，因此用不同範數算出的數值不能直接比較，雖然它們通常只差一個小的常數因子。基於奇異值定義的 2 範數（譜範數）條件數在理論上最自然，但計算成本較高，這裡未提供。奇異矩陣的行列式精確為零，沒有反矩陣，條件數為無窮大；計算器會明確偵測這種情況。 當你需要檢查一個小型線性系統是否可以安全地做數值反矩陣運算、教學數值分析入門，或在更大的模擬與機器學習流程中解方程組前做快速檢查時，都可以使用這個工具。