調和數計算器

第 n 個調和數是有限和 H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。它看起來很簡單，卻出現在許多令人意外的領域：數論、分析、演算法設計、組合數學與機率論。這個計算器會直接計算該級數，為你輸出所選正整數 n 的精確部分和。它也能顯示漸近近似，並在較小數值下提供組成總和的可讀拆解。 調和數成長得非常慢。隨著 n 變大，它們會無界增長，但成長方式是對數級而非線性級。這表示 H_10 只略高於 2.9，H_100 約為 5.19，即使 H_1,000,000 也只有大約 14.39。這也是調和數常出現在複雜度分析中的原因。許多演算法，特別是那些涉及重複除法、堆積行為或抽獎收集器式期望值的演算法，公式裡都會包含 H_n 或與之密切相關的表達式。 一個經典近似是 H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n)，其中 γ 是歐拉-馬歇羅尼常數。這個估計會隨著 n 增大而更準確，常用於不想手工加總每一項時取得直覺。計算器可按需顯示此近似，方便你將精確部分和與對數模型比較。對於中等或較大的 n，這個近似通常非常接近。 展開加總選項很適合教學、檢查作業，以及觀察級數的結構。為了易讀，計算器只會明確顯示前二十項，若 n 更大則加入省略號。這樣既能維持實用性，也能清楚呈現級數結構。 在這個情境下，調和數只定義於正整數，因此計算器會拒絕零、負數與非整數。它也對 n 設定上限，以確保瀏覽器端計算保持流暢。如果你需要估計非常大的 n 的行為，近似值往往更有參考價值。無論你是在研究漸近分析、期望值或經典級數，調和數都是一個小物件，卻有很大的數學影響力。