四元數計算器 - 4D 數學與 3D 旋轉

四元數是一種擴展複數的數系。複數只有一個虛數單位 i，而四元數有三個：i、j 和 k。四元數寫成 q = w + xi + yj + zk，其中 w 是實部（純量部分），x、y、z 是虛部（向量分量）。四元數由愛爾蘭數學家威廉·羅恩·哈密頓於 1843 年發現，此後在電腦圖學、航太工程、機器人學和物理模擬中變得不可或缺。 相較於歐拉角等其他旋轉表示法，四元數的主要優勢在於能避免萬向節鎖死——也就是兩個旋轉軸對齊，導致失去一個自由度的現象。四元數將 3D 旋轉表示為單一、連續且可插值的物件。因此，它們是平滑動畫、電玩遊戲角色移動以及太空船姿態控制的首選。 此四元數計算器支援六種基本運算。加法和減法是逐分量運算：只需分別加上或減去四個分量 (w, x, y, z)。乘法則更複雜，因為四元數乘法不具交換性——也就是一般而言 q1 × q2 ≠ q2 × q1。乘積遵循哈密頓乘積規則：(w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k。 四元數 q = w + xi + yj + zk 的共軛為 q* = w - xi - yj - zk——它會將三個虛部分量全部取負，同時保持實部不變。共軛類似複共軛，並用於計算反元素。 四元數的範數（也稱大小）為 |q| = √(w² + x² + y² + z²)。單位四元數的範數等於 1，在表示不含任何縮放的純旋轉時特別重要。 四元數的反元素為 q⁻¹ = q* / |q|²，其中 q* 是共軛，|q|² 是範數平方。對單位四元數而言，反元素等於共軛。反元素可用來撤銷旋轉——如果 q 將向量旋轉某個角度，q⁻¹ 會將它旋轉回來。此計算器可即時處理所有這些運算，對從事 3D 變換、動畫系統或高等數學的人非常有用。