雙角公式計算器
使用雙角恆等式計算 sin(2x)、cos(2x) 和 tan(2x)——輸入角度即可立即得到結果，可用度數或弧度。
輸入角度、選擇單位，並決定要顯示哪些雙角公式。
雙角公式計算器
使用雙角恆等式計算 sin(2x)、cos(2x) 和 tan(2x)——輸入角度即可立即得到結果，可用度數或弧度。
關於雙角公式計算器
雙角公式是三角恆等式，可用 sin(2x)、cos(2x) 和 tan(2x) 表示 sin(x) 與 cos(x) 的關係。它們在三角學、微積分、物理與工程中都非常常用，因為能把三角函數的自變量縮小一半。
三個核心雙角恆等式分別是：sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)；cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)，也可寫成 2cos²(x) − 1 或 1 − 2sin²(x)；以及 tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x))。當 cos(2x) = 0 時，tan(2x) 未定義，也就是 2x = 90°、270° 等情況。
正弦雙角公式 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) 可直接由和角公式 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) 推得，只要令 a = b = x。以相同方式套用 cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)，即可得到 cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)。再利用畢氏恆等式 sin²(x) + cos²(x) = 1，可以把 sin²(x) 代成 1 − cos²(x)，得到 cos(2x) = 2cos²(x) − 1；也可以把 cos²(x) 代成 1 − sin²(x)，得到 cos(2x) = 1 − 2sin²(x)。這三種餘弦雙角公式形式彼此等價，在不同情境下都很有用。
在微積分中，雙角公式對於積分含有正弦與餘弦乘積的式子非常重要。例如，sin(x)cos(x) 的積分可透過辨識其等於 (1/2)sin(2x) 來簡化，從而更容易求原函數。同樣，sin²(x) 與 cos²(x) 的積分也可先用由雙角餘弦公式推導出的半角形式改寫。
在物理學中，雙角恆等式出現在波動、光學與力學中。拋體運動的射程公式 R = (v²/g)sin(2θ) 就使用了正弦雙角公式，把最大射程表示為發射角的函數。光學干涉圖樣、簡諧振子與旋轉機械中也常出現三角函數的組合，雙角恆等式可大幅簡化分析。
這個雙角公式計算器可接受任何度數或弧度角度輸入。它會先在內部將輸入轉為弧度，計算 sin(x) 和 cos(x)，再套用恆等式得到 sin(2x)、cos(2x) 和 tan(2x)。當 tan(2x) 未定義時（即雙角為奇數個 90°），計算器會明確顯示「未定義」，而不是提供一個很大或容易誤導的數值。結果以十位有效數字顯示，確保精確度。
雙角公式範例
常見參考角及其精確或高精度的雙角結果。
| 角度 (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | 備註 |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866。常見參考角，且有精確值。 |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = 未定義 | 45° 加倍得到 90°。sin(90°) = 1，cos(90°) = 0。由於 cos(90°) = 0，正切未定義。 |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | 雙角 120° 位於第二象限：正弦為正，餘弦為負，正切為負。 |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 弧度等於 30°。結果與第一個範例相同，驗證了單位換算。 |
如何使用雙角公式計算器
- 在角度欄位輸入角 x。可接受任何實數——正數、負數或零。
- 選擇單位：常見角度如 30°、45°、60° 請選「度」，像 π/6 這類值則選「弧度」。
- 選擇公式類型：選擇「全部公式」可顯示 sin(2x)、cos(2x) 和 tan(2x)；若只需要一個結果，也可只選單一公式。
- 按一下「計算」。結果面板會顯示所選公式的計算值，並在適用時將 tan(2x) 標示為「未定義」。
- 按一下「重設」可清空輸入，或變更角度與單位來查看不同數值。
雙角公式計算器常見問題
正弦的雙角公式是什麼？
正弦的雙角公式是 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)。它由和角公式 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) 推導而來，只要令 a 與 b 都等於 x。這個恆等式常用於積分、物理與訊號處理。
為什麼餘弦雙角公式有三個版本？
三個版本——cos(2x) = cos²x − sin²x、cos(2x) = 2cos²x − 1 和 cos(2x) = 1 − 2sin²x——本質上等價。第一個直接來自餘弦和角公式；另外兩個則透過代入畢氏恆等式 sin²x + cos²x = 1 得到。不同形式適用於不同的積分與化簡情境。
tan(2x) 什麼時候未定義？
當 cos(2x) = 0 時，tan(2x) 就未定義。這發生在 2x = 90° + 180°k（k 為任意整數）時，也就是 x = 45° + 90°k。在這些角度下，公式 tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) 會出現除以零，而正切函數本身會趨近 ±∞。
雙角公式在微積分中如何使用？
雙角公式對於計算三角函數冪次的積分非常重要。例如，∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx，因此很容易積分。如果沒有這些恆等式，這類積分通常需要複雜得多的方法。
雙角公式可以套用到負角嗎？
可以。由於 sin 和 cos 對所有實數都定義，雙角公式同樣適用於負角。例如，sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866。這個計算器接受任意實數作為角度輸入。
雙角公式和半角公式有什麼關係？
半角公式是把雙角公式中的 x 替換成 x/2 推導出來的。例如，由 cos(2x) = 1 − 2sin²x，令 x → x/2 可得 cos(x) = 1 − 2sin²(x/2)，整理後就是 sin²(x/2) = (1 − cos x)/2。半角公式適合計算常見參考角的一半對應的三角值。