三角數計算器

三角數是數學中一個迷人的數列，表示填滿指定大小等邊三角形所需的點的總數。前幾個三角數是 1、3、6、10、15、21、28、36、45 和 55。每一項都是將前一個三角數加上下一個自然數得到：1、1+2=3、3+3=6、6+4=10，依此類推。 第 n 個三角數的公式是 T(n) = n(n+1)/2。這個優雅的式子等同於把 1 到 n 的所有整數相加。結果永遠是整數，因為連續兩個整數 n 與 n+1 中必有一個是偶數，使它們的乘積可被 2 整除。這個公式也能用圖形直觀驗證：若將 n 列點排成三角形，最上列有 1 個點，第二列有 2 個，第三列有 3 個，一直到最底列有 n 個點。總數就是 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2。 三角數具有幾個值得注意的數學性質。兩個連續三角數的和 T(n) + T(n+1) 永遠等於一個完全平方數，具體為 (n+1)²。例如，T(4) + T(5) = 10 + 15 = 25 = 5²。這個恆等式揭示了三角數與平方數之間深刻的幾何關係。同樣地，任意三角數乘以 8 再加 1 也永遠是完全平方數：8T(n) + 1 = (2n+1)²。這些性質廣泛用於數論證明與趣味數學。 檢查給定數字 x 是否為三角數，需要求解 T(n) = n(n+1)/2 = x 中的正整數 n。重新整理可得 n² + n − 2x = 0，利用二次公式得到 n = (−1 + √(1+8x)) / 2。如果這個值是正整數，x 就是三角數；否則就不是。 三角數出現在許多實際情境中。在組合數學中，n+1 個人之間的握手次數等於 T(n)。在程式設計中，三角數可計算巢狀迴圈的迭代次數：對 n 個項目進行簡單排序時的比較次數是 T(n−1)。帕斯卡三角形的第三條對角線包含三角數。在物理學中，三角數出現在閉殼層電子組態與分子軌域理論的研究中。它們兼具簡潔與深度，是進入數論與組合數學的絕佳起點。