散點圖計算器 - 相關性與線性回歸

散點圖是一種資料視覺化方式，會將兩個數值變數顯示為笛卡兒平面上的點。每個點代表一筆觀測值：水平位置對應 X 值，垂直位置對應 Y 值。透過觀察點的分布模式，你可以判斷兩個變數之間是否存在關係、關係強弱，以及它是線性或非線性。 這個散點圖計算器會計算三組統計量。第一組是描述性統計：資料點數量 n、X 的平均值 (x̄) 與 Y 的平均值 (ȳ)。第二組是線性回歸直線——使每個點到直線的垂直距離平方和最小的直線。它由方程式 y = mx + b 表示，其中 m 是斜率，b 是 y 截距。斜率 m 的計算公式為 Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / Σ[(xᵢ − x̄)²]，截距 b = ȳ − m·x̄。 第三組是相關統計。皮爾森相關係數 r = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]，用來衡量 X 與 Y 之間線性關係的強度與方向。其範圍為 −1 到 +1。接近 +1 表示強正相關（X 增加時 Y 也增加），接近 −1 表示強負相關，接近 0 則表示幾乎沒有線性關係。R²（決定係數）等於 r²，代表 Y 的變異中有多少比例可由 X 上的線性回歸解釋。例如，R² 為 0.90 表示 Y 的 90% 變異可由與 X 的線性關係解釋。 常見用途包括經濟學（價格與需求的關係）、生物學（研究身高與體重的關係）、教育（學習時間與測驗成績的相關性）、工程學（根據輸入變數預測輸出）以及商業分析（廣告支出與銷售營收的關係）。 解讀結果時請記住，相關不等於因果。較高的 r 只代表兩個變數在線性上一起變動，並不表示其中一個會導致另一個。線性回歸也假設真實關係本身就是線性的。如果散點圖顯示曲線趨勢，不論你提供多少點，線性模型都不是好的擬合。務必查看殘差或將資料與直線一起繪圖，以驗證模型。