平行線計算器 - 求平行線方程
根據任意已知直線並通過指定點，求出與其平行的直線方程——支援斜截式、兩點式與一般式輸入。
選擇原始直線的表示方式，輸入係數或座標點，然後指定新平行線必須通過的點。
平行線計算器 - 求平行線方程
根據任意已知直線並通過指定點，求出與其平行的直線方程——支援斜截式、兩點式與一般式輸入。
關於平行線計算器
兩條直線若斜率完全相同，但 y 軸截距不同，就彼此平行。在平面直角座標中，平行線永不相交——它們在任何位置都維持固定的垂直距離。這個幾何性質直接來自斜率相等：因為兩條直線的上升與前進速率相同，所以不存在它們相交的 x 值。
平行線計算器支援三種常見的直線表示方式。斜截式 y = mx + b 最為熟悉：m 是斜率，b 是 y 軸截距。要找一條通過點 (x₀, y₀) 的平行線，只要保留相同斜率 m，再解出新的截距：b₂ = y₀ − m × x₀。兩點式接受原始直線上的兩個座標點。先求出斜率 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，再用同樣的代入方式得到新的截距。一般式 Ax + By = C 可改寫為 y = (−A/B)x + (C/B)，因此斜率 m = −A/B；平行線沿用這個斜率，新截距同樣由給定點計算得到。
平行線廣泛出現在幾何、工程、建築與日常生活中。鐵軌必須保持平行，才能確保軌距一致；地形圖上的等高線在相同海拔帶內彼此平行；農作物的行列通常平行種植，以提高灌溉效率；在工程製圖中，剖面材料常用平行斜線表示。在解析幾何中，要證明一個四邊形是平行四邊形，就需要證明其對邊位於平行直線上——這正是斜率相等條件的直接應用。
還有一個容易忽略但很重要的點：斜率為 0 的兩條直線（y = 常數）是水平線，彼此也互相平行。形式為 x = 常數 的兩條垂直線同樣平行，只是它們的斜率未定義。計算器會辨識這兩種特殊情況，並據此回報結果。
這個公式本身並不複雜，但手算時很容易出錯，尤其當原始直線不是標準形式，或者點座標包含負數時。這個計算器會完全消除這些運算——只要選擇形式、輸入數值，平行方程就會立即以最清楚的斜截式 y = mx + b 顯示，同時給出數值斜率與 y 軸截距，方便你直接用於後續計算。
平行線計算器範例
這些範例展示三種輸入形式，以及平行方程如何推導。
| 已知直線與點 | 平行線方程 | 關鍵步驟 |
|---|---|---|
| y = 2x + 3，通過 (1, 7) | y = 2x + 5 | 斜率相同 m = 2；新截距 b = 7 − 2(1) = 5。 |
| 點 (1,2) 和 (3,6)，通過 (4, 1) | y = 2x − 7 | 斜率 m = (6−2)/(3−1) = 2；b = 1 − 2(4) = −7。 |
| 4x + 2y = 6，通過 (−2, 5) | y = −2x + 1 | 改寫後斜率 = −4/2 = −2；b = 5 − (−2)(−2) = 1。 |
| y = 0x + 4（水平線），通過 (2, −3) | y = −3 | 水平線；斜率相同 m = 0；b = −3。 |
如何使用平行線計算器
- 選擇原始直線的形式：斜截式 (y = mx + b)、兩點式或一般式 (Ax + By = C)。
- 在輸入欄位中填入定義原始直線的係數、斜率或座標點。
- 在「點 P (x)」與「點 P (y)」欄位中輸入新平行線必須通過的點座標。
- 點擊「計算」。平行線方程、斜率與 y 軸截距會立即顯示在結果面板中。
- 點擊「重設」可清空所有欄位並開始新的計算；也可以直接修改任一數值重新計算。
平行線計算器常見問題
什麼樣的兩條直線算平行？
當且僅當兩條直線斜率相同、但 y 軸截距不同，它們才是平行的。斜率相等表示兩條直線的上升與下降速率一致，因此它們不會相交或發散，而是在整個平面中保持固定距離。
如何求一條平行線的方程？
保持斜率 m 與原直線相同。然後把給定點 (x₀, y₀) 代入 y = mx + b 並解出 b：b = y₀ − m × x₀。新的方程就是 y = mx + b，其中 b 取解出的值。
兩條直線的 y 軸截距相同，也能平行嗎？
不能。如果兩條不同的直線既有相同斜率，又有相同的 y 軸截距，那麼它們其實是同一條直線，而不是平行線。平行線必須斜率相等，但 y 軸截距不同，這樣它們之間才會保持非零距離。
輸入垂直線時會怎樣？
垂直線的斜率未定義，通常寫作 x = c。與之平行的也是另一條垂直線 x = x₀，其中 x₀ 是給定點的 x 座標。計算器會辨識這種情況，並把結果顯示為 x = x₀。
平行線計算器適用於水平線嗎？
可以。水平線的斜率 m = 0。通過任意點 (x₀, y₀) 的平行線就是 y = y₀。先在斜截式中輸入斜率 0 和任意 y 軸截距，然後提供該點即可。
在求平行線之前，一般式 Ax + By = C 是怎麼轉換的？
計算器會先把方程改寫為 y = (−A/B)x + (C/B)，從而提取斜率 −A/B。然後用這個斜率和給定點計算新的 y 軸截距。結果會以斜截式返回，方便查看。